Содержание

∑ — N-арная сумма: U+2211 sum

суммировать

U+2211

Значение символа

N-арная сумма. Математические операторы.

Символ «N-арная сумма» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Версия 1.1
Блок Математические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi)
Нет
Композиционное исключение Нет
Изменение регистра 2211
Простое изменение регистра 2211

Кодировка

Кодировка hex dec (bytes) dec binary
UTF-8 E2 88 91 226 136 145 14846097 11100010 10001000 10010001
UTF-16BE 22 11 34 17 8721 00100010 00010001
UTF-16LE 11 22 17 34 4386 00010001 00100010
UTF-32BE
00 00 22 11 0 0 34 17 8721 00000000 00000000 00100010 00010001
UTF-32LE 11 22 00 00 17 34 0 0 287440896 00010001 00100010 00000000 00000000

что означает этот символ в математически-геометрических формулах?

ворчунов

Знак ∈ означает что принадлежит, а знак ∉ означает что не принадлежит. Вы же сами все знаете, судя по тэгу.

Homya­k20173Всего 4 ответа.

Другие интересные вопросы и ответы

Какое среднее число между нулём и бесконечностью?

Богдан Хаджиев3

Отвечу анекдотом: Поймали инопланетяне русского, американца и француза. И говорят: “Отпустим того, кто назовёт такое число, которого мы не знаем”. Американец подумал-подумал и говорит: “миллиард” Инопланетяне: “А, это мы знаем, столько планет в галактике” Француз подумал и говорит: “триллион” “А, ну это мы знаем. Столько звёзд на небе” Русский думает-думает и говорит: “дохрена” “Ого,- удивляются инопланетяне,- а это сколько?” “Ну вот вы приезжайте к нам в Россию, идите по железной дороге и считайте шпалы. Вот как только будет “да нахрен нам все это надо?” – так это и будет ровно половина”

Надежда Герасимова213Всего 16 ответов.

что означает этот символ в математически-геометрических формулах?

черта над х и геом или мат? эта черта может быть над всеми символами (буква, цифрами, и большими буквами и малыми)? спасибо.23 Дж/К.

А можно написать число и добавить к нему “с точностью до 3-х (-нужное число) знаков после запятой”. или “с погрешностью 0,001” (здесь, соответственно, нужное число погрешности)

Гость1Всего 1 ответ.

Как выглядит знак подобия в геометрии?

Гость3

Для обозначения подобия в геометрии используется знак тильда (~), т.е. когда фигура A подобна фигуре B, это записывается A ~ B.

Егор Осин5Всего 1 ответ.

Что скрывает знак бесконечности в украшениях — Женский журнал «ЗОЛОТОЙ»

Этот символ с многовековой историей – сильные талисман, способный привлечь любовь и финансовое благополучие. Разбираемся, как он работает.

Знак бесконечности имеет множество значений – это символ мудрости, богатства, внутренней свободы и вечной любви. Вспоминаем необычную историю этого талисмана. 


Что такое знак бесконечности?

Посмотреть эти серьги >>>

Даже те, кто не очень дружит с математикой, знакомы с этим древним символом. Визуально знак бесконечности изображается как перевернутая на бок восьмерка, состоящая из двух окружностей, одна из которых рисуется по часовой стрелке, а другая против часовой ∞. Фигура имеет закольцованную и гармоничную форму.

Читай также: Как серьги древних императриц завоевали мир моды >>>

Посмотреть это кольцо >>>

Этот знак принято использовать для обозначения понятия бесконечности. Неизмеримый параметр был впервые введен в математике в 17 столетии. И хотя мы привыкли связывать символ бесконечности в первую очередь с наукой, у знака, на самом деле, очень древняя и неоднозначная предыстория.

Откуда появился этот символ?

Посмотреть это колье >>>

Английский математик Джон Валлис, предлагая новое обозначение, не объяснил, что конкретно вдохновило его выбрать именно этот значок для понятия бесконечности. По одной из версий, символ появился благодаря числу тысячных из римской системы. Древние римляне обозначали 1000 как «CIƆ», что во многом напоминает знакомую нам перевернутую восьмерку.

Посмотреть это кольцо >>>

Также существует теория, что ученый мог взять за основу миф из древнегреческой культуры. А точнее, конкретного персонажа – змея Уробороса, который кусал сам себя за хвост. Мифический герой изображался в форме кольца или изогнутой восьмерки и олицетворял собой бесконечность бытия и постоянное возрождение.

Какое значение несет знак бесконечности?

Посмотреть это кольцо >>>

Этот особенный знак в том или ином виде встречается во многих культурах. В древнем учении фэн шуй символ бесконечности является талисманом изобилия, поэтому его часто используют для привлечения неиссякаемого богатства и финансового роста. Древние греки в изображении восьмерки видели соединение двух противоположных начал – женского и мужского, духовного и материального, божественного и земного. А в христианстве цифра 8 означает восстановление и возрождение.

Посмотреть это колье >>>

Современный знак относится ко всему, что не имеет конца или предела – начиная с науки и заканчивая мистическими практиками. Для одних символ является неизменным спутником любви, для других – свободы, а кто-то находит в нем философское значение устройства мира.

Как использовать знак бесконечности в жизни?

Посмотреть этот браслет >>>

Благодаря глубокому смыслу и своей многогранности этот символ часто применяется в качестве талисмана. В эзотерике считается, что знак бесконечности наделен очень мощной энергетикой, которая может быть направлена на самые разные сферы жизни человека. Символ помогает гармонизировать процессы и дает им возможность на постоянное продолжение и возобновление.

Читай также: Как именные украшения стали стильным аксессуаром >>>

В магии перевернутая восьмерка расценивается как символ перевоплощения или перерождения души. Также знак бесконечности применяется в медитациях для расширения сознания, что позволяет получить дорогу к ранее недоступным знаниям.

Кому подойдет символ бесконечности?

Посмотреть эти серьги >>>

Мечтательным натурам. Каждый наделяет этот знак своим особым смыслом, но всегда он связан с желанием вечного. Считается, что ношение этого символа помогает исполнять заветные желания. Но стоит быть внимательными со своими мечтами, ведь знак вечности подразумевает, что с полученным в итоге предстоит провести всю свою жизнь.

Влюбленным парам. Часто украшения с этим символом носят пары в знак своей любви и преданности друг другу. Такой аксессуар может стать отличным подарком любимому вместо традиционных сердечек, ведь он имеет более глубокий подтекст и символизм.

Посмотреть этот браслет >>>

Творческим людям. Благодаря своей закольцованости этот символ способен дарить постоянное вдохновение и раскрывать все новые грани творческой деятельности. Поэтому такой талисман пригодится креативным и свободным натурам, которые всегда находятся в поиске.

В целом же символ бесконечности обозначает стремление к совершенству и гармонии, как внешней, так и духовной. Поэтому такой талисман подойдет всем, кто верит в его силу и символизм.

Валерия Менская

Перевернутая галочка символ. Символы стрелок. Математические символы, поддерживаемые в HTML

Машинописный текст состоит из печатных знаков — графических символов.
Графические символы — это символы, которые имеют в тексте видимое отображение.
Все графические символы собраны в наборе единой универсальной системы Юникод.
Вставить графический символ Юникод в html-документ
— главное и единственное назначение для этой таблицы.

Вставить символ в html-документ можно одним из способов:

  1. скопировать изображение символа из окна браузера в окно своего визуального html-редактора
  2. скопировать html-код символа непосредственно в код html-документа
Унимаем, что это два разных способа:
  1. вставлять визуальное в визуальное
  2. вставлять код в код.

Шрифт для символа, его размер и цвет в HTML можно задать кодом, вида:
КОД_СИМВОЛА
где,
Arial — шрифт,
10px — размер шрифта в пикселях,
#ff0000 — код цвета шрифта (красный)

Например:
☎ — размер шрифта символа 30px,
☎ — размер шрифта символа 30px, цвет — красный
☎ — размер шрифта символа 20px,
☎ — размер шрифта символа 10px.
Прим. Рекомендуемые шрифты для вставки спецсимволов — Arial, Verdana и Tahoma. Эти шрифты корректно отображают символы Юникод и сами, в свою очередь, корректно поддерживаются веб-приложениями.

  1. «Символ»
    (видимое отображение символа)
    Из этой графы можно скопировать изображение символа и вставить его в окно текстового html-редактора. Символ скопируется с размером шрифта 20px. После завершения копирования может потребоваться индивидуальная подгонка размера шрифта непосредственно для скопированного знака.
  2. «Наименование»
    (только для важных или непонятных символов)
    Пояснение назначения символа, его область применения, примеры…
  3. «Мнемоника»
    Мнемоника — это буквенная конструкция вида «, обозначающая буквенный код символа в HTML. Вставляется непосредственно в html-код html-документа. Мнемоники очень популярны среди профессиональных верстальщиков. Они прекрасно запоминаются человеком и поддерживаются всеми html-приложениями. Каждая мнемоника содержит буквенное имя (обозначение) своего символа и служебный знак (&), который служит сигналом к прочтению кода для браузера и не отображается на экране монитора. Имя каждой мнемоники уникально и легко читаемо, потому что образовано от англоязычного слова, характеризующего символ.

    Мнемоника (греч.) — искусство запоминать что-либо. Мнемотехника применяется для облегчения восприятия труднозапоминаемой информации, когда объект запоминания приводится в ассоциативное состояние с чем-либо.

  4. «Код»
    Код — числовой десятичный код символа в HTML, вида &. Вставляется непосредственно в html-код html-документа. Числовой десятичный код состоит из числа, обозначающего порядковый номер символа в системе Юникод и нескольких служебных знаков (& и #), которые служат сигналом к прочтению кода для браузера и не отображаются на экране монитора. Числовой десятичный код имеет широкое распространение и применение, благодаря своей универсальности и простоте восприятия.
Символы управления в HTML (XHTML)

Символы управления в HTML (XHTML) — это служебные символы HTML-языка, которые используются при HTML-вёрстке веб-страницы. Эти символы обязан поддерживать любой браузер, поскольку без них невозможно правильное отображение HTML-текста. Символы управления не отображаются в тексте и, при прямом введении с клавиатуры — интерпретируются браузером как знаки препинания, призывающие к выполнению какого-либо действия при отрисовке страницы на экране.

Допускается использовать символы управления в обычных текстах, где они символизируют общечеловеческие понятия и трактуются браузером как обычные типографские знаки. При таком использовании служебных символов в HTML-текстах требуется вводить не значение самого символа, а именно его HTML-код. Ибо, повторяюсь — в противном случае браузер будет воспринимать служебный символ, как призыв к действию и не будет корректно отображать HTML-текст на экране монитора.

Символы управления и их HTML-код знают и понимают все браузеры без исключения, чего нельзя сказать, увы — про остальные знаки, которые могут отображаться некорректно в разных браузерах или, что ещё хуже — не отображаться совсем.

Синтаксис и пунктуация
пробел длины N (обычный пробел)
пробел длины M (длинныйпробел)
мягкий перенос (непечатный знак) ­
дефис –
тире длины N (обычное тире)
тире длины M (длинное тире)
. точка .
, запятая ,
многоточие …
: двоеточие :
; точка с запятой ;
! знак восклицания !
ǃ
? вопросительный знак ?
@ «собачка» @
* «звездочка» *
# «решетка» #
одиночная верхняя левая кавычка ‘
одиночная верхняя правая кавычка ’
одиночная нижняя правая кавычка ‚
двойная верхняя левая кавычка “
двойная верхняя правая кавычка ”
двойная нижняя правая кавычка &bdquo „
« двойная левая угловая кавычка (рус) « «
» двойная правая угловая кавычка (рус) » »
́ знак ударения, пример: Вася́ ́
» апостроф, пример: Вас»я »
´ акут, пример: Вас´я ´ ´
абзац (непечатный знак)
§ параграф § §
ˆ акцент (перевёрнутая птичка) ˆ ˆ
ˆ
˜ малая тильда ˜ ˜
˜
¦ вертикальный пунктир ¦ ¦
( круглая скобка влево (
) круглая скобка вправо )
угловая скобка влево
угловая скобка вправо
угловая скобка влево, вариант
угловая скобка вправо, вариант
[ квадратная скобка влево [
] квадратная скобка вправо ]
/ слэш (slash) — cимвол косой черты /
\ обратный слэш (backslash) \
косая дробная черта (знак деления)
ǀ вертикальная черта ǀ
ǁ двойная вертикальная черта ǁ
надчеркивание, пример: Вася‾вася
¯ macron, пример: Вася¯вася ¯ ¯
Товарные знаки и валюта
+ плюс + +
минус
= равно =
± плюс-минус ± ±
× знак умножения × ×
÷ знак деления ÷ ÷
оператор «точка» (середина строки) ·
оператор «звёздочка» (середина строки)
оператор «тильда»
. маркер списка (середина строки) . •
¹ верхний индекс «1» ¹ ¹
² верхний индекс «2» ² ²
³ верхний индекс «3» ³ ³
Надстрочный и подстрочный индекс в HTML (XHTML)
можно вставить при помощи тегов и , соответственно:
ЧИСЛОНадстрочный индекс → ЧИСЛО Надстрочный индекс
ЧИСЛОПодстрочный индекс → ЧИСЛО Подстрочный индекс
½ дробь «одна вторая» ½ ½
дробь «одна треть»
¼ дробь «одна четвёртая» ¼ ¼
¾ дробь «три четверти» ¾ ¾
знак номера
% процент %
промилле ‰
° градусы ° °
штрих (минуты, футы)
двойной штрих (секунды, дюймы)
Пример 1: 30° 25′ 12″
Пример 2: 25′ 12″
µ микро µ µ
π Пи π π
ƒ знак функции
(не путать с «интеграл»)
ƒ ƒ
ƒ
интеграл
перечеркнутый ноль, пустое множество
(не путать с «диаметр»)
диаметр (не путать с перечёркнутой латинской «о»)
ø латинская «o» диагонально перечёркнутая ø ø
Ø латинская заглавная «O» диагонально перечёркнутая Ø Ø
знак произведения
знак суммирования
радикал
(квадратный корень или корень степени x)
пропорционально
бесконечность
угол
ортогонально (перпендикулярно)
знак «cледовательно»
приблизительно равно
почти равно
не равно
идентично
меньше или равно
больше или равно
логическое И
логическое ИЛИ
знак «плюс в круге»
(прямая сумма)
знак «умножение в круге»
(векторное произведение, стрела от наблюдателя)
ʘ точка в круге
(стрела на наблюдателя)
ʘ

На этой странице собраны стрелки для вконтакте (и не только) из Юникода. Их много. Возможно, больше чем нас. Не удивлюсь если когда-нибудь они захватят мир. И не факт, что это плохо. Они и сейчас уже повсюду. Оглянитесь, наверняка увидите хоть одну. Ну или что-то похожее, то, что может быть использовано вместо. Следят, выжидают. Пока от них больше пользы, чем вреда. Будем надеяться, так это и останется. Ну и поможем символам указателей поглубже залезть социальные сети.

Пару слов скажу об истории появления стрелок. На штанах они появились в 19 веке из-за того, что после транспортировки в плотных тюках, штаны трудно было разгладить. На глазах их рисовали ещё в древнем Египте. Когда появились указатели на местности я не знаю. Вероятно, ещё до создания первой письменности. В Юникоде стрелки появлялись поэтапно. Хоть у них есть свой отдельный раздел и два дополнительных к нему, различные индикаторы направлений можно увидеть ещё в нескольких разделах. Например, в разнообразных технических символах или в дингбатах.

Стрелки символы для социальных сетей

Необходимы чёрные стрелки и , конечно же. Ведь они указывают направление. Вот, например, направо-вниз: ⇘. А вот на юго-восток: ➘. Замечательно, не правда ли?

Указатели бывают самых разных видов и размеров. Волнистые, ломаные, жирные, чёрные, белые. Некоторые, очень даже не типичны. Взгляните на этот закрашенный правонаправленный наконечник копья: ➤. Такой сможет украсить любое сообщение, статус или . Выше собраны указатели на любой вкус и размер. Много разных, очень много. Когда-нибудь они захватят… Где-то было лекарство…

Чтобы скопировать стрелку куда-нибудь во вконтакт, выделите её мышкой и скопируйте куда-нибудь во вконтакт.

Спецсимволы HTML — это специальные языковые конструкции, которые ссылаются на символы из набора символов, используемых в текстовых файлов. В таблице приведен список зарезервированных и специальных символов, которые не могут быть добавлены в исходный код HTML-документа с помощью клавиатуры:

  • символы, которые невозможно ввести с помощью клавиатуры (например символ копирайта)
  • символы предназначенные для разметки (например знак больше или меньше)

Такие символы добавляются с помощью числового кода или имени.

Символ Числовой код Имя символа Описание
» » » знак кавычки
» » » апостроф
& & & амперсанд
знак меньше
> > > знак больше
неразрывный пробел (Неразрывный пробел — это пробел отображающийся внутри строки как обычный пробел, но не позволяющий программам отображения и печати разорвать в этом месте строку.)
¡ ¡ ¡ перевернутый восклицательный знак
¢ ¢ ¢ цент
£ £ £ фунт
¤ ¤ ¤ валюты
¥ ¥ ¥ йен
¦ ¦ ¦ сломанная вертикальная черта
§ § § секция
¨ ¨ ¨ интервал (кириллица)
© знак копирайта
ª ª ª женский порядковый показатель
« « « французские кавычки (ёлочки) — левая
¬ ¬ ¬ отрицание-выражения
® ® ® зарегистрированная торговая марка
¯ ¯ ¯ макрон интервал
° ° ° градус
± ± ± плюс или минус
² ² ² верхний индекс 2
³ ³ ³ верхний индекс 3
´ ´ ´ острый интервал
µ µ µ микро
параграф
· · · средняя точка
¸ ¸ ¸ интервал седиль
¹ ¹ ¹ верхний индекс 1
º º º мужской порядковый показатель
» » » французские кавычки (ёлочки) — правая
¼ ¼ ¼ 1/4 часть
½ ½ ½ 1/2 часть
¾ ¾ ¾ 3/4 части
¿ ¿ ¿ перевернутый знак вопроса
× × × умножение
÷ ÷ ÷ деление
́ ́ ударение
Œ Œ Œ лигатура прописная OE
œ œ œ строчная лигатура oe
Š Š Š S с короной
š š š строчная S с короной
Ÿ Ÿ Ÿ прописная Y с диадемой
ƒ ƒ ƒ f с крюком
ˆ ˆ ˆ дикриатический акцент
˜ ˜ ˜ маленькая тильда
тире
длинное тире
левая одиночная кавычка
правая одиночная кавычка
нижняя одиночная кавычка
левые двойные кавычки
правые двойные кавычки
нижние двойные кавычки
кинжал
двойной кинжал
. пуля
горизонтальное многоточие
промилле (тысячные доли)
минуты
секунды
одиночная левая угловая кавычка
одиночная правая угловая кавычка
надчеркивание
евро
™ или ™ торговая марка
стрелка влево
стрелка вверх
стрелка вправо
стрелка вниз
двухсторонняя стрелка
стрелка возврата каретки
левый верхний угол
правый верхний угол
левый нижний угол
правый нижний угол
ромб
пики
крести
черви
буби

Математические символы, поддерживаемые в HTML

Символ Числовой код Имя символа Описание
для любых, для всех
часть
существует
пустое множество
оператор Гамильтона («набла»)
принадлежит множеству
не принадлежит множеству
или
произведение
сумма
минус
умножение или оператор сопряженный к
× × &times знак умножения
квадратный корень
пропорциональность
бесконечность
кратность
угол
и
или
пересечение
объединение
интеграл
поэтому
подобно
сравнимо
приблизительно равно
не равно
идентично
меньше или равно

⩽
⩽
меньше или равно
больше или равно

⩾
⩾
больше или равно
подмножество
надмножестов
не подмножество
подмножество
надмножество
прямая сумма
тензерное произведение
перпендикуляр
оператор точка

Греческий и коптский алфавиты

Символ Числовой код Шестнадцатеричный код Имя символа
Ͱ Ͱ Ͱ
ͱ ͱ ͱ
Ͳ Ͳ Ͳ
ͳ ͳ ͳ
ʹ ʹ ʹ
͵ ͵ ͵
Ͷ Ͷ Ͷ
ͷ ͷ ͷ
ͺ ͺ ͺ
ͻ ͻ ͻ
ͼ ͼ ͼ
ͽ ͽ ͽ
; ; ;
΄ ΄ ΄
΅ ΅ ΅
Ά Ά Ά
· · ·
Έ Έ Έ
Ή Ή Ή
Ί Ί Ί
Ό Ό Ό
Ύ Ύ Ύ
Ώ Ώ Ώ
ΐ ΐ ΐ
Α Α Α Α
Β Β Β Β
Γ Γ Γ Γ
Δ Δ Δ Δ
Ε Ε Ε Ε
Ζ Ζ Ζ Ζ
Η Η Η Η
Θ Θ Θ Θ
Ι Ι Ι Ι
Κ Κ Κ Κ
Λ Λ Λ Λ
Μ Μ Μ Μ
Ν Ν Ν Ν
Ξ Ξ Ξ Ξ
Ο Ο Ο Ο
Π Π Π Π
Ρ Ρ Ρ Ρ
Σ Σ Σ Σ
Τ Τ Τ Τ
Υ Υ Υ Υ
Φ Φ Φ Φ
Χ Χ Χ Χ
Ψ Ψ Ψ Ψ
Ω Ω Ω Ω
Ϊ Ϊ Ϊ
Ϋ Ϋ Ϋ
ά ά ά
έ έ έ
ή ή ή
ί ί ί
ΰ ΰ ΰ
α α α α
β β β β
γ γ γ γ
δ δ δ δ
ε ε ε ε
ζ ζ ζ ζ
η η η η
θ θ θ θ
ι ι ι ι
κ κ κ κ
λ λ λ λ
μ μ μ μ
ν ν ν ν
ξ ξ ξ ξ
ο ο ο ο
π π π π
ρ ρ ρ ρ
ς ς ς ς
σ σ σ σ
τ τ τ τ
υ υ υ υ
φ φ φ φ
χ χ χ χ
ψ ψ ψ ψ
ω ω ω ω
ϊ ϊ ϊ
ϋ ϋ ϋ
ό ό ό
ύ ύ ύ
ώ ώ ώ
Ϗ Ϗ Ϗ
ϐ ϐ ϐ
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϒ ϒ ϒ ϒ
ϓ ϓ ϓ
ϔ ϔ ϔ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϖ ϖ ϖ ϖ
ϗ ϗ ϗ
Ϙ Ϙ Ϙ
ϙ ϙ ϙ
Ϛ Ϛ Ϛ
ϛ ϛ ϛ
Ϝ Ϝ Ϝ Ϝ
ϝ ϝ ϝ ϝ
Ϟ Ϟ Ϟ
ϟ ϟ ϟ
Ϡ Ϡ Ϡ
ϡ ϡ ϡ
Ϣ Ϣ Ϣ
ϣ ϣ ϣ
Ϥ Ϥ Ϥ
ϥ ϥ ϥ
Ϧ Ϧ Ϧ
ϧ ϧ ϧ
Ϩ Ϩ Ϩ
ϩ ϩ ϩ
Ϫ Ϫ Ϫ
ϫ ϫ ϫ
Ϭ Ϭ Ϭ
ϭ ϭ ϭ
Ϯ Ϯ Ϯ
ϯ ϯ ϯ
ϰ ϰ ϰ ϰ
ϱ ϱ ϱ ϱ
ϲ ϲ ϲ
ϳ ϳ ϳ
ϴ ϴ ϴ
ϵ ϵ ϵ ϵ
϶ ϶ ϶ ϶
Ϸ Ϸ Ϸ
ϸ ϸ ϸ
Ϲ Ϲ Ϲ
Ϻ Ϻ Ϻ
ϻ ϻ ϻ
ϼ ϼ ϼ
Ͻ Ͻ Ͻ
Ͼ Ͼ Ͼ
Ͽ Ͽ Ͽ

Зачем нужны спецсимволы и как ими пользоваться

Предположим, вы решили описать какой-нибудь тег на вашей странице, но, поскольку браузер использует символы как начало и конец тега, применение их внутри содержимого вашего html-кода может привести к проблемам. Но HTML дает вам легкий способ определять эти и другие специальные символы с помощью простых аббревиатур, называемых ссылками на символы .

Рассмотрим, как это работает. Для каждого символа, который считается специальным или который вы хотите использовать на своей веб-странице, но который невозможно напечатать в вашем редакторе (например, символ авторского права), вы находите аббревиатуру и печатаете ее в html-коде вместо нужного символа. Например, для символа «>» аббревиатура — > , а для символа «.

Допустим, вы хотели напечатать «Элемент очень важен» на своей странице. Вместо этого вам придется воспользоваться ссылками на нужные вам символы для корректного отображения записи, и в итоге ваша запись в коде должна будет выглядеть так:

Элемент очень важен

Попробовать »

Еще один специальный символ, о котором вам нужно знать — символ & (амперсанд). Если вы хотите, чтобы он отображался на вашей HTML-странице, используйте ссылку & вместо символа &.

Как напечатать гамму или омегу в Word — 4 способа

Гамма и омега — 3-я и 24-я буква греческого алфавита. Знаки часто встречаются в математике, физике и других науках. Рассмотрим способы их печати в документах Word.

Заглавное и строчное написание:

  • Гамма — Γ / γ.
  • Омега — Ω / ω.

Шрифт Symbol

Напечатайте в Word букву «g», выделите её и установите шрифт «Symbol» — получаем знак гаммы. Проделайте тоже самое с буквой «w» для печати омеги.

Для заглавного начертания используем большие «G» и «W».

Alt коды

Вариант предполагает наличие полноценной клавиатуры с цифровым блоком справа.

  1. Зажимаем клавишу Alt.
  2. На правом цифровом блоке вводим нужный код:

    • 947 — γ
    • 915 — Γ
    • 969 — ω
    • 937 — Ω

    При отсутствии правого цифрового блока можно воспользоваться «Экранной клавиатурой» Windows. По умолчанию он там отсутствует, но включается через «Параметры». После ввода кода нажмите дополнительно пробел.

  3. Отпускаем Alt и получаем символ.

Юникод знаков

Универсальный, но более долгий способ — преобразование юникода знаков в буквы.

  1. В любом месте документа на английском языке вводим юникод знака:

    • 03B3 — γ
    • 0393 — Γ
    • 03C9 — ω
    • 03A9 — Ω

    Первой идёт цифра ноль. Буквы только английские.

  2. Нажимаем одновременно клавиши Alt и X.
  3. Юникод автоматически преобразуется в букву.

Кроме рассмотренных способов, гамму и омегу в Word можно вставить из верхнего меню. Ищите пункт «Символ» на вкладке «Вставка».

Andy Si

19 ноя 2020 г.

7323

Символ перевернутый треугольник в ворде

При написании математических формул и уравнений в Ворде, пользователь часто прибегает к обычным символам, которые расположены на клавиатуре. Допустим, что нужно вставить знак дельта в Ворде, и обычная клавиатура уже не спасет. Решение проблемы существует, где находится знак и как его поставить, рассмотрим в статье.

Где найти дельту?

Раздел «Символ» известен своим огромным количеством разнообразных иероглифов и символов. В нашем случае, дельта тоже прячется здесь, как и многие другие знаки. А вот и вспомогательные шаги, которые приведут к знаку:

Метод 1: «Символ»

  1. Откройте в ленте меню раздел «Вставка»;
  2. В области «Символ» выберите кнопку с таким же названием «Символ»;
  3. В окошечке со всеми недавно использованными знаками есть строчка «Другие символы» – жмём на неё;
  4. В окне, что появится, нужно указать «Греческие и коптские символы» в пункте «Набор».
  5. В списке найдите знак дельта, нажмите по нему, тем самым, выделив его
  6. Нажмите на кнопку «Вставить».
  7. Готово!

Метод 2: «Код знака»

Данный метод подойдет пользователю с феноменальной памятью. Можно поставить дельту с помощью кода знака.

Установите курсор на место, где должен стоять знак дельты и напишете 0394, затем нажмите «Alt +X», где Х это английская буква. Результат на лицо, все довольно легко.

В Word можно вставлять математические символы в уравнения и текст.

На вкладке Вставка в группе Символы щелкните стрелку рядом с надписью Формула и выберите Вставить новую формулу.

В области Работа с формулами в группе Символы на вкладке Конструктор щелкните стрелку Еще.

Щелкните стрелку рядом с названием набора символов и выберите набор символов, который вы хотите отобразить.

Щелкните нужный символ.

Доступные наборы символов

В группе Символы в Word доступны указанные ниже наборы математических символов. Щелкнув стрелку Еще, выберите меню в верхней части списка символов, чтобы просмотреть группы знаков.

Основные математические символы

Часто используемые математические символы, такие как > и

Знаки, которых нет на клавиатуре.

Сегодняшний пост ответит на вопросы:

  • Как вставить в текст какой нибудь значок
  • Как поставить знак копирайта, торговой марки, стрелки и тд.
  • Как вставить в ник сердечко, крестик скобку и др.

То есть как вставить нестандартные знаки, которых нет на клавиатуре.

Для этого предназначены спец символы. Достаточно скопировать обозначение в код, и оно преобразуется в нужный вам знак. Ниже привожу таблицу специальных символов. Надеюсь пригодится и вам).

Быстрый ответ: что означает V и перевернутая V?

Связанные вопросы Ответы

Джастин Мартинес
Профессиональный

Вопрос: Что означает You’Re A Feen?

Что такое фейн-сленг? человек, чрезвычайно увлекающийся какой-либо пагубной привычкой: опиумный наркоман. Неформал. человек, чрезмерно увлекающийся какой-либо игрой, спортом и т. п.; вентилятор; бафф: демон-мост. человек, обладающий высокой квалификацией или одаренный в чем-либо: дьявол в языках.СМОТРЕТЬ БОЛЬШЕ.. Это Fiending или Feening? Фенинг — настоящее слово? Нет, «фин» — это слово. Это было «дьявол», но теперь в лексиконе некоторых людей это «фен». Как только люди начинают использовать искажение слова, оно становится словом, даже если оно смешно. Фин это слово? feen v. (переходный, сленг) одержимо чего-то хотеть; иметь сильное желание. Что значит Фик? Поцелуй, блядь Определение FEEK: «Поцелуй, блядь». Означает ли фениан воин? В гэльской Ирландии это были воинские отряды молодых людей, которые жили отдельно от общества и могли быть призваны во время войны.Период, термин…

Джек Скотт
Профессиональный

Вопрос: Как бы вы описали Ци?

Ты видишь Ци? Мы не можем видеть распространение ци нашими глазами, но когда ци достигает проблемной области, мы можем использовать технику инфракрасного изображения, чтобы увидеть ее эффект. Что такое ци тела? Согласно ТКМ, ци — это жизненная сила или жизненная энергия. Все в мире состоит из ци, в том числе физическое тело и чувства человека…. Национальный центр комплементарного и интегративного здоровья (NCCIH) определяет ци как жизненную энергию, которая течет через тело, помогая поддерживать здоровье человека. Что такое улучшение качества ци? В здравоохранении улучшение качества (УК) — это основа, которую мы используем для систематического улучшения способов оказания помощи пациентам. Процессы обладают характеристиками, которые можно измерять, анализировать, улучшать и контролировать. Что такое медитация цигун? Медитация цигун — это древняя китайская лечебная практика, которая сочетает в себе контролируемое дыхание, плавные движения и медитацию для…

Калеб Купер
Профессиональный

Как пишется «Фейн»?

Что такое EAN и Fein? Ну, FEIN означает «федеральный идентификационный номер работодателя».«Вы получаете этот номер от федерального правительства, и он помогает вам идентифицировать свой бизнес в налоговых и платежных формах. Некоторые штаты также выдают EIN… Обратите внимание, что в некоторых штатах вместо EIN используется номер счета работодателя (EAN). Что означает Фен в тексте? Также feen [фин]. Сленг. сильно желать: просто еще один наркоман, сгоревший после очередной заправки; как только я докуриваю сигарету, я готов зажечь другую. Что такое финский ирландский сленг? Ирландский диалект неофициальное слово для человека. Что такое Fein для наркотиков? злой дух; демон; дьявол.человек, который чрезвычайно злой, особенно в том, что он очень жестокий или жестокий. неофициальный. человек, который сильно интересуется чем-то или любит что-то, любитель свежего воздуха; он любитель карт. наркоман-наркоман. Это Fiending или Feening? Является…

Саймон Уорд
Профессиональный

Быстрый ответ: что означает Feind?

Что значит Feining на сленге? Тяга, очень сильное желаниеЧУВСТВИЕ означает «Жажда, очень сильное желание». Итак, теперь вы знаете — ЧУВСТВОВАНИЕ означает «Жажда, очень сильное желание» — не благодарите нас.YW. Что означает FEENING. FEENING — это аббревиатура, аббревиатура или сленговое слово, которое объяснено выше, где дано определение FEENING. Является ли Fierce положительным словом? Все, казалось, думали о слове «свирепый» как имеющем негативное значение, когда на самом деле оно может быть очень положительным. Как пишется знаменитый? Правильное написание английского слова «известный» — [fˈe͡ɪməs], [fˈe‍ɪməs], [f_ˈeɪ_m_ə_s] (фонетический алфавит IPA). Что означает слово Файнд? 1a : дьявольское чутье 1. b : демон. c : человек большого зла или злонамеренности.2: человек, чрезвычайно преданный делу или учебе: фанатик, любитель гольфа. Дьявол — плохое слово? 1. Извращенно плохой, жестокий или злой человек: архидемон, зверь, дьявол, вурдалак, чудовище,…

Джордан Уокер
Профессиональный

Почему «мудак» — плохое слово?

Придурок — плохое слово? Некоторые протестовали против того, чтобы это слово использовалось как оскорбление, но слово, которое произошло от идеи, что женщины грязны и нуждаются в очищении, лучше использовать в этом смысле.Douchebag не так уж и плох… Это новое всеобъемлющее слово, которое может означать что угодно и быть чем угодно. Вы можете бросить его в любую часть предложения.. Безопасно ли наливать воду в свою задницу? Даже если вы принимаете душ подходящей водой, подходящей температурой и подходящим оборудованием, вы можете повредить слизистую оболочку ягодиц, что повышает риск заражения от партнера. Не существует магического количества раз, которое делает спринцевание небезопасным. Душ — плохое слово? Французское происхождение слова «придурок» может быть указано в определении, или ссылка на человека-придурка может предваряться фразой «оскорбительный термин для….» Однако…

Джон Моррис
Гость

Говорят ли французы Oui Oui?

Какой язык уи уи? FrenchOui определяется как французское слово, означающее «да». ЧТО ТАКОЕ A по-французски? Предлог à обычно резюмируется как «к, в или в», но у него гораздо больше значений и применений, чем это. Когда за à следует определенный артикль le или les, эти два слова должны сокращаться. OUI означает по-французски? Французское слово oui означает «да» и встречается во многих выражениях, в том числе я так думаю, я так боюсь и плакать по малейшему поводу.Что значит а-ля? Заимствованное из французского языка, а-ля означает «согласно» или «в манере», например, повседневный, наблюдательный юмор а-ля Джерри Сайнфельд (как шутил Джерри Сайнфельд). Что означает Oui Oui? да, дасоуи, оуи. — Да, да, — пробормотал он. Что означает OUI для вождения? Работа в состоянии алкогольного опьяненияЕсть отдельная…

Бернар Гонсалес
Гость

Вопрос: Гнев сильнее любви?

Какая эмоция сильнее любовь или гнев? Гнев — самая сильная эмоция….Мы можем быть глубоко влюблены в кого-то, но когда мы вступаем в спор, вся эта любовь может вылететь в окно, и мы можем быть поглощены гневом. Когда нас одолевает гнев, все мысли о любви, мире и благополучие, кажется, исчезает.. Каковы 7 человеческих эмоций? Основываясь на своей теории, Экман предположил, что существует семь способов выражения эмоций, универсальных для людей во всем мире: счастье, печаль, удивление, страх, гнев, отвращение и презрение. Какая самая болезненная эмоциональная боль? Долгое время считалось, что пограничное расстройство личности (ПРЛ) является единственным психическим расстройством, вызывающим самую сильную эмоциональную боль и дистресс у тех, кто страдает этим заболеванием.Исследования показали, что пограничные пациенты испытывают хронические и значительные эмоциональные страдания и душевные муки. Почему мы злимся на тех, кого любим?…

Майкл Томпсон
Гость

Быстрый ответ: что такое финский ирландский сленг?

Что такое наркотик Фен? Последний раз PussyCat редактировалось 10 апреля 2017 г., 7:32. Чтобы содержать сильное желание чего-то, что удовлетворяет что-то глубоко внутри, обычно это плохая привычка.Обычно это либо наркотики, либо сигареты, либо китайская еда. Что такое Файен? Неофициальный. человек, крайне зависимый от какой-то пагубной привычки: опиумный наркоман. Фейн это слово? fein — допустимое словарное слово для таких игр, как скрэббл, слова с друзьями, кроссворд и т. д. Слово «fein» состоит из 4 букв. Это Fiending или Feening? Фенинг — настоящее слово? Нет, «фин» — это слово. Это было «дьявол», но теперь в лексиконе некоторых людей это «фен». Как только люди начинают использовать искажение слова, оно становится словом, даже если оно смешно.Дьявол — плохое слово? 1. Извращенно плохой, жестокий или злой человек: архидемон, зверь, дьявол, упырь, чудовище, людоед, тигр, вампир. Что значит Feening…

Ксавье Кэмпбелл
Гость

Быстрый ответ: является ли Fiend словом Scrabble?

Является ли EI допустимым словом Scrabble? Нет, ei нет в словаре scrabble. Что такое fiend на сленге? человек, который чрезвычайно злой, особенно в том, что он очень жестокий или жестокий.неофициальный. человек, который сильно интересуется чем-то или любит что-то, любитель свежего воздуха; он любитель карт. наркоман-наркоман. Является ли Fiending словом? глагол (используется без объекта) Также feen [feen] . Сленг. сильно желать: просто еще один наркоман, сгоревший после очередной заправки; как только я докуриваю сигарету, я готов зажечь другую. Это слово Oi Scrabble? Да, oi есть в словаре scrabble. Это Fiending или Feening? Фенинг — настоящее слово? Нет, «фин» — это слово. Это было «дьявол», но теперь в лексиконе некоторых людей это «фен».Как только люди начинают использовать искажение слова, оно становится словом, даже если оно смешно. Что такое изверг?…

Джордан Кэмпбелл
Гость

Что такое 30 эмоций?

С какими эмоциями мы рождаемся? При рождении младенец имеет только самую элементарную эмоциональную жизнь, но к 10 месяцам младенцы проявляют весь спектр того, что считается базовыми эмоциями: радость, гнев, печаль, отвращение, удивление и страх.. Полезно ли скрывать свои эмоции? Сокрытие своих чувств дорого обходится. Исследование Техасского университета показало, что, когда мы избегаем своих эмоций, мы на самом деле делаем их сильнее — это может иметь серьезные последствия для вашего тела и разума. Сдерживание эмоций может сделать людей более агрессивными», — говорится в исследовании. Что такое 34000 эмоций? Ну, это может стать для вас сюрпризом, но мы, люди, испытываем около 34 000… Эти полярно противоположные эмоции: Радость и Печаль. Страх и Гнев.Удивление и ожидание. Принятие и отвращение. 15 марта 2021 г. Каковы 12 эмоций? Совсем недавно Кэрролл Изард из Университета Делавэра аналитически выделил 12 дискретных эмоций, помеченных как: интерес,…

Гораций Барнс
Профессор

Вопрос: Как сказать «фу» по-французски?

Что такое вау по-французски? Waouh. Самое близкое к английскому «вау!» Восклицательный знак по-французски «waouh».Хотя оно пишется по-разному, оно имеет то же значение, выражая удивление и изумление. Обратите внимание, что иногда оно пишется как «вау» или даже «вау».. Что означает придурок? 1 обычно спринцовочный мешок: мешок, используемый для спринцевания, резиновый спринцовочный мешок. 2 в основном американский сленг: несносный, оскорбительный или отвратительный человек. В Америке даже такие подлые придурки, как вы, должны быть в состоянии простудиться. Что означает Mais на французском языке Cajun? Ну тогдаМаис: Ну тогда! Технически это французское слово, означающее «но».НО! В Южной Луизиане, особенно среди тех, кто больше не говорит на каджунском французском, это в основном стало междометием, которое более или менее означает «Ну, тогда» и используется для восхищения, шока, раздражения — чего угодно. Французы говорят oui oui? Это распространено в…

Стивен Купер
Профессор

Крэк Фен

Это Fiending или Feening? Feen — это настоящее слово. Нет, «feen» — это слово.Раньше это было «fiend», но теперь в лексиконе некоторых людей это «feen». Как только люди начинают использовать искажение слова, оно становится словом, даже если оно смешно.. Что означает «трещина» на британском сленге? трещины в британском английском (ˈkrækɪŋ) прилагательное. 1. (предименный) неофициальный. быстро; энергичный (особенно во фразе бешеный темп) Что значит подавить? расправиться. Действуйте более решительно, чтобы регулировать, подавлять или сдерживать. Например, полиция расправилась с превышением скорости. [ Что означает слово «кряк» на сленге? Крэкхед — это жаргонный термин для тех, кто пристрастился к кокаину или употребляет его в больших количествах.Это слово чаще всего используется для оскорбления кого-то, кто, как считается, ведет себя как наркоман, то есть дико и глупо. Что такое наркотик Фен? наркоман (множественное число наркоманов) Кто-то, кто…

Лукас Митчелл
Профессор

Вопрос: Что означает FEAN?

Что значит трахнуть девушку? ОЩУЩЕНИЕ означает «Жажда, очень сильное желание». Итак, теперь вы знаете — ОЩУЩЕНИЕ означает «Жажда, очень сильное желание» — не благодарите нас.YW. Что означает FEENING. FEENING — это аббревиатура, аббревиатура или сленговое слово, которое объяснено выше, где дано определение FEENING. Какое другое слово для fiend? Fiend Synonyms — WordHippo Thesaurus…. Какое другое слово для fiend? Правильное написание английского слова «известный» — [fˈe͡ɪməs], [fˈe‍ɪməs], [f_ˈeɪ_m_ə_s] (фонетический алфавит IPA). Что такое фейн-сленг? человек, крайне зависимый от какой-то пагубной привычки: опиумный наркоман.Неофициальный. человек, чрезмерно увлекающийся какой-либо игрой, спортом и т. п.; вентилятор; бафф: демон моста. человек, обладающий высокой квалификацией или одаренный в чем-либо: знаток языков. УЗНАТЬ БОЛЬШЕ. Что значит быть извергом? Изучающие английский язык Определение слова fiend :…

Льюис Стюарт
Профессор

Что означает Feening на сленге?

Что означает Фейнинг? Последний раз Тина редактировалось 23 апреля 2017 г., 3:31.[Ненавидеть], быть [ненавистником]. Противоположное значение чувства, не заботиться о нем. Это слово использовалось в некоторых уличных рифмах, используемых рэперами-фристайлистами. Как пишется «чувство»? Правильное написание английского слова «чувство» — [fˈiːlɪŋ], [fˈiːlɪŋ], [f_ˈiː_l_ɪ_ŋ] (фонетический алфавит IPA). Дьявол — плохое слово? 1. Извращенно плохой, жестокий или злой человек: архидемон, зверь, дьявол, упырь, чудовище, людоед, тигр, вампир. Что значит Fiending на сленге? сильно желать сленг. сильно желать: просто еще один наркоман, срывающийся после очередного удара; Как только я докуриваю сигарету, я готов зажечь другую.Что означает ФЭАН? Также feen [фин]. Сленг. сильно желать: просто еще один наркоман, сгоревший после очередной заправки; как только я докуриваю сигарету, я готов зажечь другую. Что такое Пфенинг? существительное во множественном числе pfen·nigs, pfen·ni·ge [немецкий…

Карлос Кэмпбелл
Профессор

Быстрый ответ: FEAN — это слово?

Что такое финский ирландский сленг? Ирландский диалект неофициальное слово для человека.. Что означает Гаттинг? пойти выпить «Гаттинг» означает «пойти выпить». Что такое финский человек? Определение «feen» 1. взрослое человеческое существо мужского пола. 2. (модификатор) мужской или мужской род. Как пишется уборка? Правильное написание английского слова «cleaning»: [klˈiːnɪŋ], [klˈiːnɪŋ], [k_l_ˈiː_n_ɪ_ŋ] (фонетический алфавит IPA)…. 226 слов, состоящих из букв CLEANINGenl, lag, lin, nec, ani, age, cli, lac, Еще пункты… Что значит FEAN? Также feen [фин]. Сленг. сильно желать: просто еще один наркоман, сгоревший после очередной заправки; как только я докуриваю сигарету, я готов зажечь другую.Является ли Feens действительным словом Scrabble? FEENS — допустимое слово для скрэббла. Что такое фейн на сленге? человек, крайне зависимый от какой-то пагубной привычки: опиумный наркоман. Неофициальный. человек, чрезмерно увлекающийся какой-либо игрой, спортом и т. п.; вентилятор; бафф: мост…

Бернард Пауэлл
Пользователь

Вопрос: Как пишется слово «чувство»?

Какие слова для чувств? Чувства и эмоции Словарь слов Listacceptance.восхищение.обожание.привязанность.страх….осажденный.заколдованный.горечь.блаженство.голубое….расчетливое.спокойствие.капризная.забота.осторожная….побежденная.непокорность.восторг.зависимость.подавленная…. нетерпеливый.искренний.непринужденный.экстаз….очарованный.фаталистический.страх.пугливый….щедрый.радый.злорадный.мрачный….счастье.счастливый.измученный.тоска по дому.Еще предметы…. Что это глагол чувствовать? (Запись 1 из 2) переходный глагол. 1а: брать в руки или трогать, чтобы изучить, проверить или изучить какое-то качество. Она ощупала ткань, чтобы убедиться, что это шерсть.б : воспринимать по физическому ощущению, исходящему от отдельных конечных органов (например, кожи или мышц). Он почувствовал внезапную боль в ноге. Каковы 7 человеческих эмоций? Основываясь на своей теории, Экман предположил, что существует семь способов выражения эмоций, универсальных для людей во всем мире: счастье, печаль, удивление, страх, гнев, отвращение и презрение. Как пишется Фу? междометие. (используется как восклицание для выражения отвращения, изнеможения, удивления, нетерпения, облегчения и т. д.): Фу, жарко! Как вы используете глагол чувствовать? Мы используем чувствовать + существительное, чтобы говорить о физическом восприятии или чувстве…

Эштон Паттерсон
Пользователь

Вопрос: Какой антоним к слову Fiend?

Это Fiending или Feening? Feening настоящее слово.Нет, «feen» — это слово. Это было «fiend», но теперь это «feen» в лексиконе некоторых людей. Как только люди начинают использовать искаженное слово, оно становится словом, даже если оно смешно. Определение «feen» 1. взрослое человеческое существо мужского пола. 2. (модификатор) мужской или мужской род. Что такое дьявол в фортнайт? Fiend — редкая обертка в Fortnite: Battle Royale. Он открывается через испытания Horde Rush. Какой синоним и антоним слова друг? имя существительное. (Синонимы. одноклассник домашний мальчик знакомый сосед по койке однокашник кто-то одноклассник товарищ по классу связь смертный кто-то человек одноклассник пикап индивидуальный одноклассник душа конец человек.Антонимы. чужой беспартийный нерелигиозный человек нерабочий хилый. Что является противоположностью Succour? помощь. Антонимы: огорчать, угнетать, жестоко обращаться, ранить, мешать, обременять, преследовать, причинять боль. Синонимы: помогать, поддерживать, утешать, облегчать, дружить, утешать, помогать, помогать, облегчать. Что за слово…

Захари Барнс
Пользователь

Какое другое слово для Fiend?

Что означает помилование по закону? Использовать исполнительную власть губернатора или президента для прощения лица, обвиненного в совершении преступления или осужденного за преступление, тем самым предотвращая любое судебное преследование и отменяя любые оставшиеся штрафы или наказания.. Что такое дьявол в DND? Изверг — это термин, используемый в фэнтезийной ролевой игре Dungeons & Dragons для обозначения любых вредоносных потусторонних существ во вселенной Dungeons & Dragons. К ним относятся различные расы демонов и дьяволов, которые имеют злое мировоззрение и родом с Нижних Планов. Все изверги — экстрапланарные аутсайдеры. Сколько отделов мозга страдает от зависимости? (Подробнее о связи между мозгом и телом .) Упомянутый медиа-источник отсутствует, и его необходимо повторно внедрить.Наркотики в основном воздействуют на три области мозга: ствол головного мозга отвечает за все функции, необходимые нашему телу для выживания — дыхание, движение…

Лоуренс Джексон
Пользователь

Вопрос: Является ли Fiending настоящим словом?

Что значит свирепо? 1a : яростно враждебный или агрессивный по темпераменту свирепый тигр. b : склонный к дракам или убийствам : драчливые свирепые бойцы. 2a : отмечен безудержным рвением или яростью, ожесточенный спор.. Что означает Файнд? 1a : дьявольское чутье 1. b : демон. c : человек большого зла или злонамеренности. 2: человек, чрезвычайно преданный делу или учебе: фанатик, любитель гольфа. Что означает Гаттинг? пойти выпить «Гаттинг» означает «пойти выпить». Что такое препарат Фейн? наркоман (множественное число наркоманов) Кто-то, кто одержим или сходит с ума от своей одержимости наркотиками и / или их употреблением. Что означает Feening на сленге? Это означает: очень сильно чего-то хотеть; тоска; страстное желание; быть злодеем для/из-за; искаженная версия слова «изверг», часто используемая в сообществе наркозависимых, пытающихся бросить курить или сломленном (как в случае без денег).Значение…

Дональд Дэвис
Пользователь

Вопрос: Что значит быть извергом?

Что означает Feens на сленге? Также feen [feen] .Сленг.сильно желать: просто еще один наркоман, ссорящийся после очередной заправки; Как только я докуриваю сигарету, я готов закурить другую.. Что на сленге означает Feining? Тяга, очень сильное желаниеЧУВСТВИЕ означает «Жажда, очень сильное желание». Итак, теперь вы знаете — ЧУВСТВОВАНИЕ означает «Жажда, очень сильное желание» — не благодарите нас.ЮВ! Что означает ФЕНИНГ? FEENING — это аббревиатура, аббревиатура или сленговое слово, которое объясняется выше, где дается определение FEENING. Что значит быть извергом? Изучающие английский язык Определение fiend: злой дух: демон или дьявол. : очень злой или жестокий человек. : человек, увлеченный чем-либо. Дьявол — плохое слово? 1. Извращенно плохой, жестокий или злой человек: архидемон, зверь, дьявол, упырь, чудовище, людоед, тигр, вампир. Что значит Fein по-русски? ФЕЙН…

Что означает перевернутая буква А в математике? – Стратегии для родителей

Обычно мы ассоциируем буквы латинского алфавита (A, B, C и т. д.).) с английским языком. Эти буквы легко понять, в отличие от надоедливых математических Σ и π. Однако буквы могут иметь очень знакомую форму в различных дисциплинах, например, перевернутая буква А в математике (∀).

Символ ∀ может выглядеть как знакомая заглавная буква «А», написанная вверх ногами, но в математике (особенно в исчислении предикатов) ∀ является логическим символом или универсальным квантором. Вы можете использовать его вместо «для всех». Это означает, что ∀ — это сокращенный символ, который вы будете использовать при написании доказательств, уравнений и наборов.

Хотя ∀ может показаться пугающим, понять его так же просто, как понять ABC. Продолжайте читать, и вы узнаете не только, что такое ∀, но и как использовать его в своей работе.

Как называется перевернутая буква А?

Перевернутая буква А в математике не имеет стандартизированного названия. Многие часто называют его «отличником». Имейте в виду, что это слово связано как с ∀, так и с ɐ, и оно использует букву как в математике, так и вне ее. Это универсальный символ количественной оценки, когда речь идет конкретно о математике/логике.

Что такое универсальная количественная оценка?

«Универсальная количественная оценка» звучит довольно пугающе, но не всегда все так, как кажется. Если мы разберем слово, вам будет легко понять его значение.

Слово «универсальный» относится к чему-то общему или применимому ко всем случаям.

В английском языке слово «квантификация» происходит от слова «количество». Кембриджское определение количественной оценки — это «акт измерения или оценки размера или количества чего-либо» (источник).

Следовательно, квантификаторы — это слова, которые мы используем для обозначения количества или суммы чего-либо. Вы можете быть знакомы с этим, если вы являетесь носителем английского языка, поскольку мы понимаем слова, описывающие количества, не являющиеся конкретными — не дающие буквальное количество или точное измерение — как квантификаторы.

Эти слова включают:

  • Все
  • Немного
  • Многие
  • Некоторые
  • Немного
  • Нет

Итак, универсальная количественная оценка — это когда квантификатор применяется ко всем обстоятельствам.Вот почему универсальные количественные символы стоят вместо слов «для всех» и «данных любому».

Если вы хотите разбить другие понятия на их части, я рекомендую вам приобрести Oxford New Essential Dictionary , доступный на Amazon. Этот словарь с более чем 100 000 статей может помочь вам с любыми вашими потребностями в обучении, будь то в школе, на работе или даже дома.

Есть несколько способов показать универсальную количественную оценку, но наиболее распространенным способом является перевернутая буква А.

Что означает перевернутая буква А?

Как было установлено ранее, ∀ — это логический символ, используемый в доказательствах, уравнениях и множествах. Символ ∀ стоит вместо слов «для всех» и «для любого» во избежание постоянного повторения (источник).

Уравнение/Функция Значение
f(x)  ∀ a, b, c ∈ N Это означает, что f(x) верно, когда x, b и c равны a, b и c (которые являются натуральными числами), потому что: a, b и c — буквы, которые стоят вместо цифр.∈ означает «является элементом» (источник). N (часто пишется как ) — это символ натуральных чисел (вместо цифр стоят только строчные буквы).
r(x)=x∀x r(x) Это означает, что для всех значений x r(x) истинно.
c(x)=x+2>xC(-1)= 1+(-1)>-10>-1 (истинно)C(1)= 1+2>13>1 (истинно) C (2)= 2+2>14>1 (истинно)∀x C(x) Это означает, что для всех значений x, C(x) истинно.

Примечание: если вы хотите узнать больше о различных категориях чисел, ознакомьтесь со статьей «Что означает символ 3 назад?»

Что такое логический символ?

Логические символы — это фигуры, представляющие логические понятия.В логике первого порядка наиболее распространенными логическими символами являются:

.
  • Квантификаторы: ∀ и ∃.
  • Логические связки: ∧, ∨, →, ↔ ,→ и т. д.
  • Знаки препинания: (), [] и т. д.
  • Переменные и индексы: a, b, c, 
  • Символ равенства: =

Знакомство с символами ∀ и ∃

Мы уже установили, что ∀ показывает универсальную количественную оценку. Однако это не единственный тип количественного определения.Существует второй тип квантификации, известный как экзистенциальная квантификация. Это означает, что переменная имеет одно (или несколько) правильных значений в формуле.

В отличие от ∀, ∃ стоит вместо «существует», «есть хотя бы один» или «для некоторых».

Например, если у вас есть формула x+2<3, вы можете попытаться вычислить x, заменив его действительными числами (как положительными, так и отрицательными):

f(x)=x+2<3
f(-1)=(-1)+2<3
f(-1)=1<3 (истина)

f(0)=(0)+2<3
f(0)=2<3 (истина)

f(1)=(1)+2<3
f(1)=3<3 (ложь)

f(2)=(2)+2<3
f(2)=4<3 (ложь)

Это означает, что утверждение верно только тогда, когда x<1.Следовательно, только некоторые значения x являются правильными. Вы также можете написать это как:

∃x (f(x) x<1) (существуют только некоторые значения x, для которых f(x) истинно).

Вы также можете встретить ∃! в вашей учебе. Это пример количественной оценки уникальности, когда переменная может иметь только одно значение, например, x+4=5.

Что такое логика первого порядка (кратко)?

Исчисление предикатов подпадает под рубрику, известную как логика первого порядка.

Логика первого порядка — это не просто математическое понятие.На самом деле, вы можете встретить его в философии, компьютерных науках и даже лингвистике. Логика первого порядка состоит из предикатов. Следовательно, чтобы понять логику первого порядка, нам нужно сначала понять предикаты.

Что такое предикаты?

Предикаты — это утверждения — как в английском языке, так и в математике, — которые не являются ни истинными, ни ложными. Мы можем только сделать вывод об их правильности (или неправильности) на основе заданных переменных.

Например:

  • X > 5 (это верно только в том случае, если x больше 5)
  • X — столица Соединенных Штатов (это верно только в том случае, если X — Вашингтон, округ Колумбия)

Вы также должны понимать логику высказываний как это своего рода основа для логики предикатов.

Что такое логика предложения?

Логика предикатов сильно отличается от логики пропозиций — и пропозиций, которые являются ее частью. В логике высказываний каждое утверждение истинно или ложно, но никогда оба (источник). Например:

  • Стефани Майер написала Сумерки . (правда)
  • Солнце встает с запада. (false)

В математике это можно увидеть в утверждениях, таких как:

  • 2+2=5 (ложь)
  • 20>12 (истина)

Единственная существенная разница между логикой первого порядка и логикой высказываний заключается в использовании предикатов вместо высказываний и отсутствии отношений или кванторов — примечание: вам нужно запомнить это слово.

Сокращенное обозначение

Теперь в логике первого порядка оператор предиката делится на две части. Это полезно, поскольку помогает вам отформатировать текст в краткой и сжатой форме.

Операторы-предикаты состоят из:

  1. Субъект
  2. Предикат

Субъект — это переменная, а предикат — часть оператора, предоставляющая информацию о субъекте.

Давайте попробуем один пример — здесь есть ответ ∃, но он будет работать аналогично с оператором ∀:

  • x>5 (означает, что x больше 5)

Мы можем показать эту формулу, используя H(x) — здесь H() представляет предикат, а x — субъект/переменная.

Мы используем стенографию при письме. Без него вам пришлось бы постоянно повторять то, что вы пишете, что требует времени и через некоторое время может выглядеть неуклюже.

Итак, если вы хотите определить значения X, вам не нужно повторять:

  • 1 ​​больше 5 ✘ (ложь)
  • 2 больше 5 ✘ (ложь)
  • 3 больше 5 ✘ (ложь)
  • 4 больше 5 ✘ (ложь)
  • 5 больше 5 5 ✘ (ложь)
  • 6 больше 5 ✓ (истина)

Скорее можно сказать:

∃x (H(x) 5

Это означает, что существуют только некоторые значения x, для которых H(x) истинно.Писать стенографически полезно, и это может помочь вам сформулировать ответ кратко.

Как вводить перевернутые символы?

Ниже вы найдете несколько способов ввода перевернутых символов, таких как перевернутая буква А.

Стратегия первая: копирование и вставка

Это самая простая стратегия записи ∀. Все, что вам нужно, это подключение к Интернету.

  1.  Поищите в Google «универсальный символ количественной оценки». Вы должны увидеть избранный фрагмент из Википедии, который гласит:

«Традиционный символ универсального квантификатора — «∀», повернутая буква «А», которая означает «для всех» или «все».Соответствующий символ квантора существования — «∃», повернутая буква «Е», которая означает «существует» или «существует» (источник).

  1. Выделите ∀ в предложении и либо нажмите ctrl+c, либо выберите его вручную, щелкнув правой кнопкой мыши. Ваш экран должен отражать показанный ниже (на ПК):
Изображение от Sona Digital Media
  1. Перейдите к соответствующему документу и щелкните правой кнопкой мыши, чтобы вставить символ вручную. Делать это вручную, вероятно, лучше, так как это предоставляет больше возможностей.

Если вы выполняете простую вставку (ctrl+v), по умолчанию ∀, скорее всего, будет другого размера, формата и шрифта, чем то, что вы уже написали ранее.

Документы Google

Если вы используете Google Docs, вы можете исправить это, выбрав «вставить без форматирования» или ctrl+shift+v, что объединит букву с форматированием предыдущего текста.

Изображение Sona Digital Media

Однако в Microsoft Word вам нужно выбрать либо «объединить форматирование», либо «сохранить только текст».Это последние два поля, которые вы увидите в разделе вставки — см. диаграмму ниже.

Изображение Sona Digital Media

Имейте в виду, что математические символы недоступны в большинстве шрифтов, поэтому шрифт может измениться на шрифт, в котором доступен символ ∀. Изменение шрифта для любых следующих слов должно быть относительно простым с помощью панели задач.

Используя эти стратегии, вы должны иметь возможность вставлять ∀ в любую программу путем копирования и вставки.

Стратегия вторая: Вставка вручную

Есть два способа вставить символ вручную.

Если вы работаете в Word, выберите «вставить символ». После того, как вы выполните этот шаг, откроется меню. В меню измените шрифт на Cambria и подмножество на Mathematical Operators.

Изображение Sona Digital Media

Вы также можете использовать ярлык, набрав 2200 и нажав Alt+X после этого.

Если вы используете Google Docs, выберите «Вставить специальные символы». Это приведет вас к меню, похожему на приведенное ниже.

Изображение Sona Digital Media

Соответствуйте настройкам, которые вы видите выше — на вкладках должны быть указаны категории, символы и математика.Там вы найдете ∀ (обведено красным). Щелкните его, чтобы добавить в документ.

Вы также можете использовать строку поиска «поиск по ключевому слову (например, стрелке) или кодовой точке» и ввести «повернутый A». Или используйте функцию рисования под ним.

Вы должны быть в состоянии вставить его, используя аналогичную технику в других программах, поэтому не отчаивайтесь, если вы пишете ∀ в программе, которая не является ни Microsoft Word, ни Google Docs.

Стратегия третья: написание в перевернутом виде в целом

Иногда жизнь может стать скучной, и мы вынуждены развлекаться сами.Если да, то, возможно, некоторые из вас считают, что писать вверх ногами — это отвлечься от монотонности реальной жизни. Конечно, это не имеет ничего общего с математикой, но все же может быть увлекательным!

Написание в перевернутом виде также имеет свои преимущества. Вы можете использовать его при публикации или отправке сообщений в социальных сетях или при создании паролей в социальных сетях.

Сделать это тоже просто. Посетите сайт upsidedowntext.com и напишите все, что хотите, в поле «Введите текст, слова, буквы или символы здесь:».

Предложение будет отображаться перевернутым и перевернутым, где вы сможете скопировать и вставить его. Вы можете избавиться от текстовых эффектов, сняв флажки с эффектами.

Изображение Sona Digital Media

Текст выглядит так, если его скопировать:

˙ɹǝᴉɟᴉʇuɐnb lɐsɹǝʌᴉun ɹo loqɯʎs ɔᴉƃol ɐ sᴉ ǝɥʇ ‘(snlnɔlɐɔ ǝʇɐɔᴉpǝɹd uᴉ ʎllɐɔᴉɟᴉɔǝds) sɔᴉʇɐɯǝɥʇɐɯ uᴉ ʇnq’ uʍop ǝpᴉsdn uǝʇʇᴉɹʍ «∀» lɐʇᴉdɐɔ ɹɐᴉlᴉɯɐɟ ǝɥʇ ǝʞᴉl ʞool ʎɐɯ loqɯʎs a lɐɔᴉʇɐɯǝɥʇɐɯ ǝɥ┴

Примечание. Имейте в виду, что математический символ ∀ немного отличается от буквы A, перевернутой (Ɐ) сама по себе.Если вы посмотрите на различия ниже, вы увидите, что математический символ ∀ немного короче.

Изображение Sona Digital Media

Если вы пытаетесь написать ∀, рекомендуется сначала попробовать и использовать предыдущие методы, а не полагаться на этот, как для точности, так и для вашего удобства.

Заключительные мысли

Нельзя отрицать, что ∀ играет важную роль в математике. Вот почему нам нужно знать, когда, где и как его использовать.

Итак, в следующий раз, когда вы будете работать над своими учебниками по математике, помните, что знаки ∀ и ∃ экономят ваше время и место, независимо от того, пишете ли вы «для всех» или «для некоторых». Даже если вы забудете эти символы, скорее всего, ваши учителя этого не сделают.

Список символов исчисления и анализа

В математике исчисление формализует изучение непрерывных изменений, а анализ дает ему строгую логическую основу. В следующем списке перечислены некоторые из наиболее известных символов и обозначений в исчислении и анализе, а также использование и значение каждого символа.

Для удобства чтения эти символы разбиты на категории по темам и функциям в таблицы. Другие полные списки математических символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в электронной книге , форма — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Константы и переменные

В вычислениях и анализе константы и переменные часто зарезервированы для ключевых математических чисел и произвольно малых величин .2$ $C$ Константа интегрирования $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d} x = \ln |x| + C$

Последовательность, серия и предел

Понятия последовательности , серии и предела составляют основу исчисления (и, соответственно, реального и комплексного анализа). В следующей таблице представлены некоторые из наиболее распространенных символов, связанных с этими темами, а также их использование и значение.k b_n = \\ b_1 + \cdots + b_k$ $\| \mathrm{x}-\mathrm{y}\|$ Евклидово расстояние между точками $\mathrm{x}$ и $\mathrm{y}$ $\| \mathrm{x}-\mathrm{x}_0 \| < 1 \ подразумевает $
$ | е (\ mathrm {х}) — е (\ mathrm {х} _0) | < 2 $ $d(x, y)$ Функция расстояния $d(x, y) = |xy|$ $\displaystyle \lim_{n \to \to \in } a_n$ Предел последовательности $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = e$ $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{n=i}^k a_n, \sum_{n=i}^{\infty} a_n$ Предел ряда $\displaystyle \sum_ {n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^n} = 2$ $\mathrm{x} \to a$ Переменная $\mathrm{x}$ стремится к $a$ $\lim (a_n) = 1/4$ при $n \to \infty$.2 < 2 \right\}\right)$ $= \sqrt{2}$ $\liminf a_n $ Нижний предел последовательности $a_n$ $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} =$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty } 0$ $\limsup a_n$ Старший предел последовательности $a_n$ $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} b_n =$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{m \ge n} b_m \right)$

Производная и интеграл

Область исчисления (т.g., многомерное/векторное исчисление, дифференциальные уравнения) часто говорят, что вращается вокруг двух противоположных, но дополняющих друг друга концепций: производной и интеграла . В следующих таблицах описаны наиболее известные символы, связанные с ними, а также использование и значение каждого символа.

(для отзыва по функциям и сопутствующим операторам, 3 .2(f) = D(D(f))$ $\Delta \ mathrm{x}$ Приращение в переменной $\mathrm{x}$ $\Delta y \ приблизительно f'(x) \Delta x$ $d \mathrm{x}$ Дифференциал переменной $\mathrm{x}$ $dy = \dfrac{dy}{dx}\, dx$

Многомерные символы, связанные с производными

Символ 4 Пример
$f_\mathbf{x}$ Частная производная от $f$ через $\mathbf{x}$
(обозначения Лагранжа)
$\displaystyle f_x (a, b) = \lim_{h \ до 0}$
$\frac{f(a+h, \, b) \, – \, f(a,\, b)}{h}$
$\dfrac{\partial}{\ частичная \mathrm{x}} f, \dfrac{\partial f}{\partial \mathrm{x}}$ Частная производная от $f$ через $\mathrm{x}$
(стиль Лейбница )
Если $f$ имеет непрерывные вторые частные производные, то $\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial f}{\partial y}$
$\dfrac{\partial^n}{\partial \mathrm{x}^
n} f, \dfrac{\partial^nf}{\ парциальная \mathrm{x}^n}$
N-я частная производная от $f$ через $\mathrm{x}$
(стиль Лейбница)
$\dfrac{\partial^2 f}{\ парциальное у ^ 2} = \ dfrac {\ парциальное {\ парциальное у} \ dfrac {\ парциальное е} {\ парциальное у} $
$ \partial_x f$ Частная производная от $f$ через $x$
(обозначения Эйлера)
$\partial_{xy} f = \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\ частичное f}{\partial x}$
$\nabla_{\mathbf{v}} f$ Производная по направлению от $f$ относительно направления $\mathbf{v}$ $\ nabla _ {\ mathbb {v}} f (\ mathbf {x}) = $
$ \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v}) -f (\mathrm{x})}{h}$
$\partial \mathrm{x}$ Частный дифференциал переменной $\mathrm{x}$ $\dfrac{\partial f} {\partial x} dx \le df$
$df$ Полный дифференциал функции $f$ $df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 +$
$ \displaystyle \cdots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$
$\nabla f, \mathrm{grad}\,f$ Градиент функции $f$ 9019 2 $\nabla f =$
$\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \right)$
$ \Delta f$ Оператор Лапласа функции $f$ $\displaystyle \Delta f = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$
$\nabla \cdot \mathbf{F}, \mathrm{div}\, \mathbf{F}$ Расходимость векторного поля $\mathbf{F}$ $\nabla \cdot \mathbf{F} = \dfrac{\partial F_x}{\partial x} +$
$\dfrac{\partial F_y}{\partial y} + \dfrac{\partial F_z}{\partial z}$
$\nabla \times \mathbf{F}, \mathrm{curl} \, \mathbf{F}$ Curl векторного поля $\mathbf{F}$ $\nabla \times \mathbf {F} =$
$\left( \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z} \right) \times $
$\left( F_x, F_y, F_z \right)$

Производная/целое Сокращения, связанные с al

Имя символа Объяснение Пример
$\displaystyle \left.3$
  • Стандартный интеграл
  • Линейный интеграл
  • Интеграл площади
  • Поверхностный интеграл
    (векторного поля)

Асимптотический анализ

В исчислении и анализе необходимость сравнения скоростей роста различных функций приводит к изучению асимптотического анализа .В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с этой темой, а также их использование и значение.

Название символа Объяснение Пример
$ F \ equiv G $ Функция $ F $ Одинаковый равный Для функции $ G $ $ F \ equiv g \ Iff $
$\mathrm{dom}(f)=\mathrm{dom}(g)$
$\mathrm{and}\, f(x)=g(x) $
$\left( \forall x \in \mathrm{dom}(f) \right)$
$f \sim g$ Функция $f$ асимптотически равна функции $g$ $f \sim g \iff $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$
$f \ll g, f \in O(g)$ $f $ асимптотически ограничен выше $g$
($f$ входит в big-O $g$)
$f \ll g \iff \exists k > 0$
$|f(x )| \le k |g(x)|$
$(\forall x \ge x_0)$
$f \gg g, f \in \Omega(g)$ $f$ асимптотически ограничено снизу на $g$
($f$ находится в big-Omega $g$)
$f \gg g \iff \exists k > 0$
$|f(x)| \ge k |g(x)|$
$(\forall x \ge x_0)$
$f \in \Theta(g)$ $f$ есть , асимптотически ограниченное выше и ниже $ g$
($f$ находится в больших тета $g$)
$f \in \Theta(g) \iff$
$f \ll g \: \mathrm{and} \: f \gg g$
$f \in o(g)$ $f$ является асимптотически доминируемым $g$
($f$ находится в малых-O $g$)
$f \in o(g)$ тогда и только тогда, когда для всех $k > 0$ $|f(x)| < k \, |g(x)|$
(для всех $x \ge x_0$).{\infty} \! \дельта(х)\, dx = 1$.{-2\pi i t x} \, dx$

Основной список символов см. в разделе Математические символы. Списки символов, классифицированных по типу и по теме , см. на соответствующих страницах ниже.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в электронной книге , форма — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Дополнительные ресурсы

Должны ли дети изучать математику, начиная со счета?

Должны ли дети изучать математику, начиная со счета?
январь 2009 г.
Две дороги расходились в желтом лесу, И жаль, что я не мог путешествовать вдвоем, И будь одним путником, долго я стоял, И посмотрел вниз, насколько я мог, Туда, где он изгибался в подлеске;
Затем взял другого, столь же справедливого, И имея, возможно, лучшее утверждение, Потому что он был травянистым и нуждался в износе; Хотя насчет того, прохождение там, Носил их действительно примерно одинаково,
И оба в то утро одинаково лежали, В листьях ни один шаг не протоптан черным, О, я оставил первую еще на один день! Но зная, как путь ведет к пути, Я сомневался, что когда-нибудь вернусь.
Я буду говорить это со вздохом, Где-то века и века отсюда: две дороги расходились в лесу, и я — Я взял тот, который меньше путешествовал, И в этом вся разница.
— Роберт Фрост, «Дорога не пройдена»

Свою колонку за последний месяц я начал со знаменитой цитаты немецкого математика Леопольда Кронекера (1823–1891): «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». Я закончил эссе несколькими вопросами о том, как мы обучаем начинающих студентов математике, и пообещал сказать что-то об альтернативном подходе к тому, который распространен в США.

Колонка этого месяца начинается с того места, где я остановился в последний раз. Чтобы не повторяться, я буду считать, что читатели прочитали то, что я написал в прошлом месяце. В частности, я представил доказательства в поддержку моего тезиса (выдвинутого не только мной), что, хотя числа и, возможно, другие элементы базовой математики К-8 абстрагируются от повседневного опыта, более продвинутые части предмета создаются и усваиваются как заданные правилами и часто изначально бессмысленные «игры в символы».«Первому можно научиться путем формирования основанной на реальном мире цепочки когнитивных метафор, которые на каждом этапе обеспечивают понимание нового с точки зрения того, что уже знакомо. играть в шахматы: сначала просто следуя правилам, с небольшим пониманием, а затем, с практикой, достигая уровня игры, на котором появляются смысл и понимание (Лакофф и Нуньес описывают первый процесс в своей книге Откуда берется математика .Большинство из нас может вспомнить, что последний был способом, которым мы изучали исчисление — наблюдение, которое, кажется, противоречит — и которое, я думаю, действительно опровергает — заявление Лакоффа и Нуньеса о том, что описанный ими процесс конструирования метафор дает всю чистую математику. .)

Если действительно существуют эти два, принципиально разных вида математического мышления, которые необходимо (или, по крайней мере, лучше всего) изучать совершенно разными способами, то возникает естественный вопрос: где в традиционной учебной программе К-университета заканчивается первый и второй? другие старты.И не заблуждайтесь, две формы обучения, о которых я говорю, очень разные. В первом смысл порождает правила; во втором правила в конце концов обретают смысл. Где-то между приобретением понятия (целого) числа и исчислением процесс обучения меняется от абстракции к лингвистическому творчеству.

Обратите внимание, что оба могут генерировать математику, которая имеет смысл в мире и может быть применена в мире. Разница в том, что в первом случае связь с реальным миром предшествует новой математике, а во втором новая математика должна быть «когнитивно настроена», прежде чем можно будет понять связи с реальным миром и сделать приложения.

Прежде чем идти дальше, я должен отметить, что, поскольку я говорю здесь о человеческом познании, моя упрощенная классификация на две категории как раз и является упрощенной классификацией, удобной в качестве основы для формулирования общих положений, которые я хочу передать. Как всегда, когда речь идет о людях, мир не черно-белый, а непрерывный спектр, где между двумя крайностями находится множество оттенков серого. Если судить по моему ежемесячному почтовому ящику, то математики как порода особенно склонны рассматривать все в бинарной форме.(И я был таким, пока не нашел себя сначала заведующим кафедрой, а затем деканом, когда мне ежедневно приходилось иметь дело с людьми и университетской политикой!)

В частности, в принципе, для студента под руководством может быть возможно выучить всю математику с помощью повторяющейся метафоры, описанной Лакоффом и Нуньесом, где каждый шаг связан как с пониманием, так и с компетентностью (действия). Но на практике потребовалось бы слишком много времени, чтобы овладеть большей частью современной математики.Что делает возможным изучение продвинутой математики довольно быстро, так это то, что человеческий мозг способен научиться следовать заданному набору правил, не понимая их, и применять их разумным и полезным образом. При достаточной практике мозг в конце концов обнаруживает (или создает) смысл в том, что начиналось как бессмысленная игра, но в целом нет необходимости достигать этой стадии, чтобы эффективно применять правила. Очевидный пример можно увидеть каждый год, когда студенты-физики и инженеры-первокурсники университетов изучают и применяют продвинутые методы дифференциальных уравнений, скажем, без их понимания — подвиг, требующий от математических специальностей (где цель совершенно определенно — это понимание). ) четыре года борьбы за достижение.

Опираясь на университетский уровень сейчас, где подход к быстрому достижению процедурных компетенций эффективен для учащихся, которым необходимо использовать различные математические методы, каков наилучший способ преподавания начальной математики ученикам в младших классах школы? Учитывая способность маленьких детей учиться играть в игры, часто очень сложные фэнтезийные игры, и высокий уровень мастерства, который они демонстрируют в видеоиграх, многие из которых имеют уровень сложности, достаточный для большинства взрослых, и, если вы мне не верите, идите и попробуйте сами (у меня есть, и их может быть очень трудно освоить) — я думаю, возможно, они могли бы выучить элементарную математику таким образом.Но я не знаю, пробовали ли когда-нибудь этот подход, и мне не ясно, сработает ли он. На самом деле, подозреваю, что нет. Мы хотим, чтобы наши дети научились тому, как применять математику в повседневном мире, и это вполне может зависеть от закрепления предмета в этом реальном мире. В конце концов, студент университета, который научился использовать дифференциальные уравнения на основе правил, подходит к задаче с более зрелым умом и огромным количеством предварительных знаний и опыта в использовании математики.Другими словами, эффективность основанного на правилах быстрого пути к процессуальной компетентности для детей старшего возраста и взрослых вполне может зависеть от первоначального обоснования, когда начинающий студент-математик реферирует первые базовые понятия (скажем) числа и арифметики из его повседневный опыт.

В конце концов, насколько нам известно, именно так наши предки впервые встали на путь математики много тысяч лет назад. Я ограничил это последнее утверждение фразой «насколько нам известно», потому что, конечно, все, что нам нужно, — это археологические свидетельства артефактов, которые они оставили после себя.Мы не знаем, как они на самом деле думали о своем мире.

Как все начиналось

Мы знаем, что наши предки начали «считать» с помощью различных артефактов (выемки на палках и костях, царапины на стенах пещер, предположительно груды гальки и т. д.) по крайней мере 35 000 лет назад, постепенно переходя к более сложным глиняным предметам. Шумеры около 8000 лет назад, до появления абстрактных чисел (и письменных символов для их обозначения) около 6000 или 7000 лет назад.Это развитие, которое сначала приводит к положительным целым числам с добавлением и, в конечном счете, к положительным рациональным числам с добавлением, было вызвано, как мы думаем, коммерцией — желанием/потребностью народов следить за своим имуществом и торговать друг с другом.

Из археологических свидетельств также ясно, что наши ранние математически способные предки разработали системы измерения как длины, так и площади, чтобы измерять землю, выращивать урожай и, в конечном итоге, проектировать и возводить здания.С современной точки зрения это ужасно похоже на зарождение реальной системы счисления, хотя неясно, когда именно эта деятельность превратилась в числовых до такой степени, которую мы можем распознать сегодня.

Сегодняшняя учебная программа по математике в США начинается с целых положительных чисел и сложения и строится довольно линейно, через отрицательные числа и рациональные числа, пока не достигает кульминации действительной системы счисления. Такой подход может породить предположение или даже веру в то, что натуральные числа каким-то образом являются более простыми или более естественными, чем действительные числа.Но не так все сложилось исторически. Правда, если вы попытаетесь построить действительные числа, начиная с натуральных чисел, вы столкнетесь с долгим и сложным процессом, на который у математиков ушло около двух тысяч лет усилий, и эта задача была завершена лишь в конце девятнадцатый век. Но это не означает, что действительные числа являются когнитивно более сложным понятием для усвоения, чем натуральные числа, или что одно когнитивно строится на другом. Люди обладают не только естественной способностью абстрагировать дискретные счетные числа от нашего повседневного опыта (размеры коллекций дискретных объектов), но также имеют естественное чувство непрерывных величин, таких как длина и объем (площадь кажется менее естественной), и абстракцию в этой области. приводит к положительным действительным числам.

Другими словами, с когнитивной точки зрения (в отличие от математической) натуральные числа не являются ни более фундаментальными, ни более естественными, чем действительные числа. Оба они возникают непосредственно из нашего опыта в повседневном мире. Более того, они, по-видимому, возникают параллельно из разных когнитивных процессов, используемых для разных целей и не зависящих друг от друга. На самом деле, то немногое, что есть в современных исследованиях мозга, свидетельствует о том, что с нейрофизиологической точки зрения реальные числа — наше ощущение непрерывного числа — являются более базовыми, чем натуральные числа, которые, по-видимому, основаны на непрерывном чувстве числа . благодаря нашим языковым возможностям.(Подробности см. в недавних книгах и статьях таких исследователей, как Станислав Дехане или Брайан Баттерворт.)

Таким образом, кажется, что когда мы ведем наших детей по первым шагам долгого пути к математическому мышлению, предполагая, что мы хотим обосновать эти ключевые первые шаги повседневным опытом и опираться на естественные человеческие познавательные способности, у нас есть два возможных способа начать: дискретный мир оценки размеров коллекций и непрерывный мир оценки длины и объема.Первый ведет к натуральным числам и счету, второй — к действительным числам и измерению.

Две дороги расходятся в образовательной чаще

Если мы начнем с измерения, счетные числа и положительные рациональные числа возникнут как особые точки на непрерывной числовой прямой. Начните со счета, и действительные числа появятся путем «заполнения пробелов» в строке рациональных чисел. (В обоих случаях вы должны обрабатывать отрицательные числа как можно лучше, когда возникает необходимость.) На первый взгляд ни один из подходов не предлагает значительных преимуществ перед другим с точки зрения обучения. Сделайте свой выбор и живите с учебными последствиями. (Правда, с математической точки зрения гораздо труднее построить действительные числа из натуральных чисел, чем распознать натуральные числа и рациональные числа как особые точки на действительной прямой, но здесь речь идет не о формальном математическом построении, а о человеческом познании, построении на повседневном опыте.)

В Соединенных Штатах и ​​многих других странах давным-давно был сделан выбор — возможно, необдуманно — взять наше средство для счета в качестве отправной точки и, таким образом, начать математическое путешествие с натуральных чисел.Но была по крайней мере одна серьезная попытка построить всю программу обучения математике на основе другого подхода, и именно этому посвящена оставшаяся часть этого эссе. Не потому, что я думаю, что один внутренне лучше другого — хотя это может быть так. Скорее потому, что какой бы подход мы ни избрали, я думаю, что, скорее всего, мы будем работать лучше и лучше поймем, что делаем как учителя, если будем знать об альтернативном подходе.

Действительно, знание другого подхода может помочь нам провести наших студентов через особенно сложные области, такие как концепция умножения, тема некоторых из моих предыдущих статей.Как заметил Пиаже и много писали другие, помочь учащимся достичь хорошего понимания умножения в учебной программе, основанной на счете, чрезвычайно сложно. Напротив, в учебной программе, основанной на измерении, некоторые из более сложных тонкостей умножения, которые мешают прогрессии, основанной на счете, просто не возникают. Может быть, путь к большему успеху в обучении математике в раннем возрасте заключается в применении гибридного подхода, основанного одновременно на обеих человеческих интуициях? (Возможно, это все равно происходит в какой-то степени.Американские дети в учебной программе, основанной на счете, используют длины, объемы и другие меры действительных чисел в своей повседневной жизни, а дети в учебной программе, ориентированной на действительные числа, которую я собираюсь описать, наверняка могут считать и, возможно, складывать и вычитать натуральные числа. , прежде чем они пойдут в школу. Но я не знаю официальной школьной программы, в которой пытались бы сочетать оба подхода.)

Какой бы из двух подходов мы ни избрали, заявленная основная цель текущего математического образования K-12 одинакова во всем мире: вооружить будущих граждан пониманием и процедурным владением системой действительных чисел.В школьной системе США это делается постепенно: первые этапы (натуральные числа, целые числа, рациональные числа) преподаются под названием «арифметика», а действительные числа — под названием «алгебра». (До относительно недавнего времени геометрия и тригонометрия были частью типичной школьной программы, привнося в класс элементы подхода, основанного на измерении, но, как мы все знаем, от него отказались, хотя и не без борьбы его сторонников.)

Интересно отметить, что использование действительных чисел как «алгебры» в подходе США обеспечивает полностью процедурную обработку, избегая огромных трудностей, связанных с построением понятия действительных чисел, начиная с рациональных чисел.В конце концов, даже наш подход, основанный на подсчете, должен полагаться на нашу интуицию и повседневный опыт непрерывного измерения, даже если он не начинается с них.

Назад в СССР

И так до одной известной мне попытки построить всю современную учебную программу, которая начинается не со счета, а с измерения. Он был разработан в Советском Союзе во второй половине двадцатого века, и его ведущим сторонником был психолог и педагог Василий Давыдов (1930-1988).Давыдов основывал свою учебную программу — в настоящее время обычно именуемую его именем, хотя в ее формировании принимали участие и другие, в первую очередь Б. Эльконин, — на когнитивных теориях великого русского психолога, занимающегося вопросами развития, Льва Семеновича Выготского (1896–1934).

В серии исследований развития приматов, детей и традиционных народов Выготский заметил, что когнитивное развитие происходит, когда сталкивается с проблемой, для которой предыдущие методы решения не подходят (Vygotsky & Luria, 1993).Учебная программа по математике Давыдова построена на этом наблюдении и состоит из ряда тщательно выстроенных задач, которые требуют все более глубокого понимания и методов для их решения. Это, конечно, сильно отличается от подхода к обучению, принятого большинством американских учителей, который состоит из учебной лекции с отработанными примерами, за которой следует набор упражнений, направленных на повторную практику конкретного навыка, продемонстрированного инструктором в классе.

Но это только первое из нескольких различий между двумя подходами.В то время как учебная программа по математике в США K-12 имеет понимание и вычислительные возможности с системой действительных чисел в качестве объявленной конечной точки, первые несколько лет занимают прогрессию через положительные целые числа, дроби и отрицательные целые числа / рациональные числа, с реальной системой счисления, охватываемой в более поздних классах, в основном под названием «алгебра». Напротив, учебная программа Давыдова с самого начала нацелена на реальную систему счисления. Давыдов считал, что начало работы с конкретными числами (счетными числами) приводит к трудностям в дальнейшем, когда учащиеся работают с рациональными и действительными числами или занимаются алгеброй.

Я на мгновение вернусь к рассмотрению системы действительных чисел, но сначала мне нужно представить еще одну отличительную черту подхода Давыдова.

Давыдов учел проведенное Выготским различие между тем, что он называл спонтанными понятиями, и научными понятиями. Первые возникают, когда дети абстрагируют свойства от повседневного опыта или от конкретных случаев; последние развиваются из формального опыта с самими свойствами.

Это различие более или менее (но не полностью) такое же, как и то, которое я обсуждал в прошлом месяце между математикой, которую мы изучаем, абстрагируясь от мира, и математикой, которую мы изучаем на основе правил таким же образом, как мы учимся играть в шахматы. Например, дети, которые узнают о положительных целых числах, считая наборы предметов, тем самым усваивают спонтанное понятие. Обучение игре в шахматы ведет к «научному» пониманию игры. Вывод, о котором я говорил ранее, заключался в том, что по моему опыту как ученика, так и преподавателя высшей математики, научный подход является наиболее эффективным и, возможно, единственным способом изучения такого весьма абстрактного предмета, как исчисление.

В прошлогодней колонке я спросил, где заканчивается математика, основанная на абстрагировании от мира (спонтанные концепции), и начинается математика, основанная на изучении по правилам (научные концепции). Как я уже отмечал, этот вопрос наивен, он скрывает тот факт, что, скорее всего, существует непрерывный спектр изменений, а не точка разрыва. С точки зрения образования более уместно сформулировать вопрос: какие разделы математики мы должны преподавать на основе спонтанных понятий, а какие — на основе научных понятий?

Общепринятое мнение в США состоит в том, что спонтанный подход — это способ пройти хотя бы весь путь от K-8, а может быть, и до 12-го класса.(Принятие этого подхода вплоть до 12-го класса склонно вынуждать представлять исчисление как «метод вычисления наклонов», что мне лично не нравится, поскольку оно сводит одно из величайших достижений человеческого интеллекта к набору процедурных уловок. Но это другой вопрос в другой раз.)

В учебной программе Давыдова подход научных концепций принят с первого дня. Давыдов считал, что изучение математики с использованием «научного» подхода от общего к конкретному приводит к лучшему математическому пониманию и успеваемости в долгосрочной перспективе, чем спонтанный подход.Он рассуждал так: если очень маленькие дети начнут изучение математики с абстракций, они будут лучше подготовлены к использованию формальных абстракций в старшем школьном возрасте, и их мышление будет развиваться таким образом, что сможет поддерживать способность обращаться с более сложной математикой.

Он писал (Давыдов, 1966), «в интеллектуальных возможностях младших школьников нет ничего, что мешало бы алгебраизации элементарной математики. На самом деле такой подход способствует привнесению и увеличению этих самых способностей детей к обучению математике.»

Подчеркну, что принятие Давыдовым «научно-понятийного» подхода вовсе не то же самое, что преподавание математики абстрактно, аксиоматично. (Здесь моя аналогия с обучением игре в шахматы обрывается, как и все аналогии рано или поздно, какими бы полезными они ни были в начале; что напоминает мне, упоминал ли я когда-нибудь о проблемах, которые могут возникнуть в результате введения умножения в качестве постоянное добавление?) Подход Давыдова прочно основан на реальном опыте, и его много.Действительно, в начале учащиеся тратят больше времени, не занимаясь ничем, кроме реальных действий (до того, как приступить к какой-либо явной математике), чем это имеет место в учебной программе США. Но когда вводятся настоящие математические понятия, это делается в научной манере. Студенты способны связать научную концепцию со своим реальным мировым опытом не потому, что эта концепция возникла спонтанно из этого опыта (это не произошло), а потому, что они прошли через достаточно богатый подготовительный опыт реального мира, который они в состоянии понять. сразу видно, как эта концепция применима к реальному миру.(Что касается метафор, отображение метафор строится обратно от нового к старому, а не наоборот, как в схеме обучения Лакоффа и Нуньеса.)

Как российская резина отправляется в путь

Вот как начинается учебная программа Давыдова (1975а). Он начинается с проведения учащимися серии упражнений, направленных на развитие все более сложного, нечислового понимания размера (длины, объема, массы). Ну это не совсем правильно. Первый, «доматематический» шаг состоит в том, чтобы подготовить учеников к этим упражнениям.

В 1 классе учащимся предлагается описать и определить физические свойства объектов, которые можно сравнивать. Как я намекнул минуту назад, цель состоит в том, чтобы предоставить детям контекст для изучения отношений, как равных, так и сравнительных. Шестилетние дети обычно сравнивают физически длины, объемы и массы объектов и описывают свои выводы с помощью таких утверждений, как

. ЧАС

где H и B — неуказанные сравниваемые величины, а не объекты.(На данном этапе неуказанные количества не являются числами.) Обратите внимание на этот непосредственный акцент на абстракциях. Физический контекст и акт записи означают, что элементы «абстрактной» алгебры вводятся осмысленно и не воспринимаются детьми как абстрактные.

Например, учеников спрашивают, как сделать неравные количества равными или как сделать равные количества неравными, добавляя или вычитая количество. Начиная с ситуации громкости, записанной как H Только после того, как они овладели этим предчисловым пониманием размера и отношений часть-целое, им предлагаются задачи, требующие количественной оценки.Например, если они работали с массой и заметили, что масса Y — это целое, а массы A и Q — части, составляющие целое, их можно побудить выразить с помощью простой перевернутой V-образной диаграммы, подобной это:

они могут написать это более формально: Y = A + Q, Q + A = Y, Y — Q = A, Y — A = Q

Это создает основу для ввода конкретных числовых значений «переменных» для решения уравнений, возникающих в реальных задачах.(Числа, т. е. действительные числа, вводятся во второй половине первого класса как абстрактные меры длин, объемов, масс и т. п.). В результате учащимся не приходится учить правила решения алгебраических задач. уравнения; скорее, они становятся изощренными в рассуждениях непосредственно об отношениях части и целого.

Когда ученики доходят до умножения и деления, учебный план Давыдова требует, чтобы они связывали новые действия умножения и деления с уже имеющимися у них знаниями об измерении и разрядном значении, а также о сложении и вычитании и применяли их к задачам, связанным с метрической системой, системы счисления по другим основаниям (изучаются в 1 классе), площадь и периметр, решение более сложных уравнений.Другими словами, новые операции связаны как с реальным миром, так и с их связью с ранее изученной математикой. Три ученика должны исследовать две новые операции и их системные взаимосвязи с ранее изученными понятиями. Они постоянно сталкиваются с проблемами, которые требуют от них наладить связь с предыдущими знаниями. Каждая новая проблема существенно отличается от своих предшественников и последователей. (Сравните это с американским подходом, где задачи представляются наборами, причем каждый набор фокусируется на одной процедуре.) В результате ученики должны постоянно думать о том, что они делают, чтобы это имело для них смысл. Решая множество задач, разработанных таким образом, чтобы заставить их создавать связи между новыми действиями умножения и деления и их предыдущими знаниями о сложении, вычитании, позиционных системах и уравнениях, они объединяют свои знания в единую концептуальную систему.

Таким образом, учебная программа Давыдова основана на реальном мире, но отправной точкой является непрерывный мир измерения, а не дискретный мир счета.Не знаю, как вам, но мне кажется, что измерения и подсчеты предлагают довольно конкретные отправные точки для математического путешествия. Люди рождаются со способностью делать суждения и рассуждать о длине, площади, объеме и т. д., а также со способностью сравнивать размеры коллекций. Каждая емкость ведет непосредственно к числовому понятию, но к разным: действительным числам и счетным числам соответственно.

Что лучше?

Если обучение основано на приобретении спонтанных понятий, начиная со счета, знакомая последовательность от натуральных чисел до рациональных возникает автоматически.Но шаг к действительным числам труден как с математической точки зрения (только в конце девятнадцатого века математики действительно поняли этот шаг), так и с когнитивной точки зрения («заполнение пробелов в рациональной линии» трудно проглотить, когда рациональная линия, по-видимому, не имеет никаких отверстий — это то, что математики называют «плотным».) Поскольку геометрия (и тригонометрия) больше не в моде, учебная программа США аккуратно избегает вопроса о , что такое действительных числа (на мой взгляд, мудро) переключив передачу в этот момент и проникнув в реальную систему счисления под заголовком «алгебра», где основное внимание уделяется процедурным вопросам, а не концептуальным.(Комплексные числа до сих пор остаются проблематичными и фактически обычно вводятся, как правило, на уровне колледжа, как научная концепция (что, безусловно, так и есть), мотивируемая процедурными требованиями.)

Ясно, что у давыдовского подхода таких трудностей нет. Поскольку система действительных чисел является базовой, целые числа и рациональные числа являются просто отдельными точками на прямой с действительными числами.

Еще одно возможное преимущество давыдовского подхода состоит в том, что более неприятные проблемы с тем, как успешно ввести умножение и деление, которые досаждают подходу к изучению математики, основанному на счете, — которому посвящены три моих колонки в прошлом году, — просто не возникают, поскольку умножение и деление — естественные понятия в мире длин, объемов, масс и т. д.и отношения часть-целое между ними.

Одна черта подхода Давыдова, которая меня лично (помните, как математика, а не учителя или эксперта в области математического образования, которым я не являюсь) вызывает беспокойство, — это отсутствие комплексов упражнений, ориентированных на конкретные навыки. Разделение на фрагменты и обретение процедурной беглости — важнейшие требования для достижения прогресса в математике, и я не знаю другого способа добиться этого, кроме повторяющейся практики. В то время как учебная программа по математике, состоящая лишь из повторяющихся упражнений, наверняка оттолкнет от математики гораздо больше учащихся, чем создаст специалистов по счетам, их отсутствие кажется мне столь же проблематичным.Коллега по математическому образованию говорит мне, что российские учителя иногда (часто?) заставляют своих учеников работать с целенаправленными, повторяющимися наборами упражнений, и мне интересно, может ли успех с более строгой учебной программой Давыдова зависеть, по крайней мере частично, от родителей, работающих над повторяющимися упражнениями. занятия с детьми дома.

Однако, является ли один подход в целом лучше другого, я просто не знаю. Отсутствие большого количества доказательств, никто не знает. К сожалению — и это мягкое слово, учитывая высокие ставки в математическом бизнесе в современном мире — не было проведено ничего похожего на достаточное количество сравнительных исследований, чтобы решить этот вопрос.

Одно из немногих исследований, проведенных в США, о которых я знаю, касалось реализации всего трехлетнего курса начальной математики Давыдова в нью-йоркской школе. Исследование возглавила Джин Шмиттау из Государственного университета Нью-Йорка в Бингемтоне. Шмиттау (2004, стр. 20) сообщает, что «дети в исследовании обнаружили постоянную необходимость решать серьезные — даже устрашающие — задачи, для решения которых требовался практически год, поскольку они постепенно развивали способность сохранять концентрацию и интенсивное внимание, необходимое для успеха.Однако по завершении учебной программы они смогли решать задачи, которые обычно даются только учащимся средней школы США».

Вопреки распространенному утверждению о том, что в эпоху дешевых электронных калькуляторов детям не нужно учиться считать, и что время, затрачиваемое на вычисления, на самом деле препятствует концептуальному математическому обучению (например, вы найдете эти утверждения неоднократно в 1998 NCTM Yearbook ), Шмиттау пишет (2004, стр. 40): «В свете результатов, представленных [в ее статье], невозможно согласиться с утверждением, что концептуализация и способность решать сложные проблемы скомпрометированы. научившись считать.Дети, использующие учебную программу Давыдова, не только достигли высокого уровня как процедурной компетентности, так и математического понимания, они были в состоянии анализировать и решать проблемы, которые обычно трудны для школьников США. Они не использовали калькуляторы и решали каждую вычислительную ошибку концептуально, , никогда не обращаясь к «правилу». Кроме того, развитие вычислительных навыков требовало от них как математического мышления, так и установления новых связей — sine qua non осмысленного обучения.»

И здесь меня снова беспокоит баланс между, с одной стороны, глубоким концептуальным пониманием и способностью рассуждать, исходя из первых принципов — очень важными чертами математики, — и, с другой стороны, потребностью в основанных на правилах, алгоритмические методы, которые практикуются до автоматической беглости для дальнейшего продвижения по предмету. Неизменная популярность — среди родителей, если не среди их детей — предлагаемых на коммерческой основе уроков математики, проводимых по субботам утром, предполагает, что я не одинок в том, что ценю приобретение базовых навыков (беглость процедур), и, как я уже упоминал однажды, я часто задаюсь вопросом, успех некоторых учебных экспериментов не зависит отчасти от незарегистрированной деятельности за пределами классной комнаты.

Еще одно исследование в США было проведено одновременно в двух школах на Гавайях Барбарой Дж. Догерти и Ханной Словин из Гавайского университета, и там исследователи также сообщили об успешном результате. Они пишут (2004, стр. 301): «Методы решения учащихся убедительно свидетельствуют о том, что маленькие дети способны использовать алгебраические символы и обобщенные диаграммы для решения задач. Диаграммы и связанные с ними символы могут представлять структуру математической ситуации и могут разнообразные настройки.(Учащиеся использовали алгебраические символы в сочетании с диаграммными представлениями, такими как перевернутая V-образная диаграмма, показанная выше. Дети, участвовавшие в исследовании, о котором говорится в этой цитате, учились в третьем классе.)

Секрет соуса?

Эти два исследования обнадеживают. Но, как и в случае со всеми образовательными исследованиями, я думаю, что мы должны быть осторожны в их интерпретации, особенно если цель состоит в том, чтобы установить образовательную политику и учебные программы. (Это не было целью двух исследований, которые я только что процитировал.) Одна из проблем заключается в том, что изучение пробных учебных программ — или «нестандартных» учебных программ, которые проходят апробацию, — часто дает хорошие результаты по той простой причине, что они разрабатываются и преподаются энтузиастами, знающими экспертами, с глубоким пониманием материала и образовательной практики. В результате измеряется, возможно, качество преподавания, а не учебная программа. С другой стороны, сравнение национальных уровней успеваемости, достигнутых общенациональными учебными планами, также не является окончательным.Например, сингапурские школьники набрали больше баллов по TIMSS, чем российские школьники, а преподавание математики в Сингапуре основано на счете, но не все российские школьники обучаются по давыдовскому подходу, так что именно с чем сравнивают? Даже если давыдовский подход в каком-то смысле по своей сути превосходит — а в целом, я думаю, вполне может быть (в значительной части из-за структурированного, комплексного, исследовательского способа подачи материала), неизменно высокие достижения студентов в Сингапур и Япония предполагают, что подход, основанный на счете, может работать очень хорошо, если его хорошо обучить.(Обратите внимание, что сингапурская и японская учебные программы также построены на строго структурированном подходе, который подчеркивает взаимосвязь между понятиями. Обе страны также уделяют большое внимание пониманию пропорциональности, что также развивается в подходе Давыдова, хотя и по-другому.)

На самом деле, если мы немного продолжим это последнее наблюдение, мы придем к тому, что, как я подозреваю, является действительно важным фактором: учителям, которые имеют глубокое понимание базовой математики. Хммм, а где я это раньше слышал (и читал)? Липин Ма, кто-нибудь?

На самом деле, в контексте этой страны, охваченной непрекращающимися математическими войнами и интенсивной политизацией математического образования, которая их движет, я считаю, что споры об учебной программе и образовательной теории, которая движет ею, являются отвлекающим фактором, которого лучше избегать (по крайней мере, на данный момент).Для меня реальная проблема, стоящая перед нами, предельно проста: педагогическое образование. Какой бы ни была учебная программа и на какой психолого-педагогической теории она построена, обучение сводится к тому, что один человек взаимодействует с рядом (обычно) более молодых, других людей. Если этот учитель не любит то, чему он или она учит, и не понимает этого глубоко и основательно, тогда результатов просто не будет. Решение? Привлекайте лучших и умнейших, чтобы они становились учителями математики, хорошо обучайте их, платите им на уровне, соответствующем их подготовке, навыкам и обязанностям, и предоставляйте им возможности для непрерывного профессионального развития.Только то, что мы делаем (например) в медицинских или инженерных профессиях. Это так просто.

Источники

Основной источник первичных материалов по программе Давыдова:

LP Steffe, (Ed.), Способность детей к обучению математике. Советские исследования по психологии обучения и преподавания математики, Vol. VII , Чикаго: Чикагский университет. Конкретные статьи в этом томе перечислены ниже.

Мое краткое изложение подхода Давыдова основано главным образом на Dougherty & Slovin 2004 и Schmittau 2004.

В статье Dougherty & Slovin описывается базирующийся в США (Гавайи) научно-исследовательский проект под названием Measure Up , в котором используется подход Давыдова для введения математики через измерения и алгебру в 1-3 классы.

Ссылки

Баттерворт, Б. (1999). Что имеет значение: как каждый мозг запрограммирован на математику, Free Press

Давыдов, В.В. (1966). Логико-психологические проблемы элементарной математики как учебного предмета.Из Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова (ред.), Способность к обучению и возрастной уровень: начальные классы, (стр. 54-103). Москва: Просвещение.

Давыдов, В.В. (1975а). Логико-психологические проблемы элементарной математики как учебного предмета. В LP Steffe, (Ed.), Способность детей к обучению математике. Советские исследования по психологии обучения и преподавания математики, Vol. VII (стр. 55-107). Чикагский университет.

Давыдов, В.В. (1975б). Психологические особенности «дочислового» периода обучения математике. В LP Steffe, (Ed.), Способность детей к обучению математике. Советские исследования по психологии обучения и преподавания математики, Vol. VII (стр. 109-205). Чикагский университет.

Давыдов В.В., Горбов С., Мукулина Т., Савельева М. и Табачникова Н. (1999). Математика. Москва Пресс.

Дехане, С. (1997). Чувство числа: как разум создает математику, Oxford University Press.

Девлин, К. (2000). Математический ген: как развивалось математическое мышление и почему числа похожи на сплетни , Basic Books.

Догерти, Б. и Словин, Х. Обобщенные диаграммы как инструмент для решения проблем детей младшего возраста. Материалы 28-й конференции Международной группы психологии математического образования, 2004 г., том 2 (стр. 295-302). PME: Кейптаун, Южная Африка.

Ма, Липинг (1999). Знание и преподавание элементарной математики: понимание фундаментальной математики учителями в Китае и США, Лоуренс Эрлбаум: Исследования в области математического мышления и обучения.

Морроу, Л. Дж. и М. Дж. Кенни, М. Дж. (редакторы) (1998), Ежегодник NCTM: Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике. Рестон, Вирджиния: Национальный Совет учителей математики.

Шмиттау, Дж. Выготская теория и математическое образование: решение концептуально-процедурной дихотомии. Европейский журнал психологии образования, 2004 г., том XIX, № 1 (стр. 19-43). Instituto Superior de Psicologia Aplicada: Лиссабон, Испания.

Выготский, Л. (1978). Психика в обществе: Развитие высших психических процессов. Гарвард Пресс.


Угол Девлина обновлен в начале каждого месяца. Последняя книга Девлина Незаконченная игра: Паскаль, Ферма и Письмо семнадцатого века, сотворившее мир Современный, изданный Basic Books.

Математик Кейт Девлин (электронная почта: [электронная почта защищена]) Исполнительный директор Отдела гуманитарных наук Институт перспективных исследований и технологий (H-STAR) в Стэнфордском университете и Математик в выпуске выходного дня NPR.

World Web Math: векторное исчисление: градиенты

World Web Math: векторное исчисление: градиенты Предпосылки: Частные производные, Векторы

Пусть f ( x , y , z ) будет функцией трех переменных, определенной в области трехмерного пространства, то есть скалярным полем, и пусть P будет точкой в ​​этой области. Скажем, мы удаляемся от точки P в заданном направлении, которое не обязательно проходит по одной из трех осей.Как мы можем рассчитать изменения в и , когда мы это делаем? Мы хотим рассчитать производную по направлению .

Ну, давайте начнем с помощью R = x 0 + y 0 Z + Z Z 0 K Быть позиция вектор для P . Пусть заданное направление, которое мы хотим удалить от P , задано единичным вектором u = u 1 i + u 2 j + u 3 k.Пусть Q =( x + x , y + y , z + z ) точка вдоль вектора в указанном направлении. Пусть s будет скалярным значением таким, что s будет длиной . Потом .


Пусть f = f ( Q ) — f ( P ). По линейному приближению
F = F = F + F + F y ( P ) Y + F Z ( P ) Z + ERF x + ERF + ERF y ( Q ) Y + ERF Z ( Q ) Z
F = F = F = F x ( с ) U 1 + F y ( P ) ( S ) U 2 + F Z ( p ) (us u 3 + ERF x x

) U 1 ) U 1 + ERF Y ( Q ) s )u 2 + erf z ( Q )(s)u 3 Разделив на , мы получим

Теперь, когда Q приближается к P вдоль линии, определяемой двумя точками, три функции ошибок будут стремиться к нулю.Получаем производную по направлению

Или скалярное произведение,

где – специальная функция, определяемая следующим образом:

Перевернутый символ Дельта и стрелка называется «Оператор Дель». Во многих текстах векторная стрелка опущена, что также является более быстрым способом написания символа. Но стрелка вектора помогает напомнить вам, что градиент функции создает вектор.

То, через что мы только что прошли, — это объяснение теоремы о градиенте.

Теорема о градиенте Предположим, что f ( x,y,z ) имеет линейную аппроксимацию на D (т.е. непрерывно на D ). Тогда в каждой точке P в D ,

  1. существует вектор , такой что для каждого направления u в P

  2. вектор задается,

    Этот вектор называется градиентом на P скалярного поля f .Другая форма записи: grad f . Производная по направлению в любом заданном направлении является скалярной составляющей в этом направлении.

    Итак, для точки P нашей функции f у нас есть определенный вектор . Каков геометрический смысл этого вектора?

    • Направление — это направление, для которого имеет максимальное значение.
    • Величина — это максимальное значение.
    Из формулы видно, что значение изменяется очень плавно, как и что если u ортогональны к , то должно быть 0.

    Почему это? Попробуем составить визуальное представление. Для этого давайте подумаем о функции с двумя переменными вместо трех переменных, чтобы мы могли визуализировать поверхность. Мы помним из исчисления, что если вы достаточно внимательно посмотрите на кривую (при условии, что она непрерывна), то небольшой ее отрезок будет выглядеть как прямая линия. Хорошо, если у нас есть непрерывная поверхность, и если мы посмотрим достаточно близко на небольшой ее участок, он будет выглядеть как плоская плоскость. Мы можем думать о его маленьком пятне как о крошечном плоском круге (обратите внимание, что в прошлом мы визуализировали каждый крошечный участок в виде плоского прямоугольника, но для понимания градиентов круг имеет гораздо больше смысла).

    Зеленые кружки — это область, заметаемая произведенными векторами. функцией , то есть вектор от нашей точки до края зеленого круга имеет длину, равную производной по направлению в этом направлении. Из зеленых кружков видно, что по мере приближения направления к вектору, перпендикулярному градиенту, производная по направлению стремится к нулю.

    Визуализация этой концепции в четырехмерном пространстве немного сложнее. Но вектор градиента по-прежнему указывает в направлении наибольшего увеличения функции, и любой вектор, перпендикулярный градиенту, будет иметь нулевую производную по направлению.Но в прошлом у нас было название поверхности, пересекающей точку, в которой f’ = 0. Мы назвали ее поверхностью уровня. Итак, мы можем сделать это заявление.

    Градиент функции f ( x,y,z ) в точке P нормален к поверхности уровня f , которая проходит через P 5
6

Одна вещь, которую мы еще не подняли, но которая должна пощекотать ваше любопытство, — это то, что означает, когда точка не подключена к функции.Ясно, что для расчета не нужно думать о какой-то конкретной точке. Первое, что нужно отметить, это то, что НЕ является скалярной функцией. Что означает, что это не похоже ни на одну функцию, с которой вы когда-либо сталкивались, скорее всего. Вместо скалярного значения он создает вектор. Итак, какое пространство создает эта функция, которая принимает три переменные и выдает векторы? Это пространство называется векторным полем и будет предметом следующего раздела.

Пример

Теперь давайте посчитаем градиент.Пусть f ( x,y,z )=x 2 y 3 + z cos x в точке P =(pi/2,2,3). Сначала найдем частные производные.

Итак,

Теперь подключаем P .

Чему равна производная по направлению вдоль вектора v = i +2 j k от P ? Нам нужно найти скалярное произведение между градиентом f на P и единичным вектором в направлении v .Единичный вектор вдоль v вычисляется путем масштабирования v на величину, обратную его величине. | v |=(6) 1/2 , Таким образом, единичный вектор равен .

Теперь мы вычисляем А это значение производной по направлению вектора v .

Упражнения:

  1. Покажите, что градиент обладает следующими свойствами, которые демонстрируют его сходство с дифференцированием.

Индекс векторного исчисления | Главная страница World Web Math
вещь @ Афина.мит.эду
Последнее изменение 7 августа 1997 г.

Как преподавать задачи на сложение и вычитание

Мои ученики мучились с тем, как решать задачи на сложение и вычитание , казалось, целую вечность. Они могли подчеркнуть вопрос и найти числа. В большинстве случаев мои ученики просто складывали два числа вместе, не понимая смысла задачи.

Тьфу.

Вы можете рассказать?

Я большой сторонник НЕ преподавания списков ключевых слов.Это просто не работает последовательно во всех проблемах. Это короткий путь, ведущий к сбоям в математическом мышлении. Я более подробно рассказываю о том, почему это не работает, в статье «Проблема с использованием ключевых слов для решения текстовых задач».

Вы можете узнать больше о ресурсе для задач на сложение и вычитание, который я использую в своем классе, в этой записи блога.

Ниже приведены пять стратегий решения математических задач, которые можно использовать при обучении словесным задачам с использованием любого ресурса.

Итак, как мне учить текстовые задачи? Это довольно сложно, но так весело, как только вы войдете в него.

Основные компоненты обучения словесным задачам на сложение и вычитание включают:

  1. Обучение соотношению чисел s – Как учитель, знайте тип задачи и помогайте учащимся решать действия в задаче
  2. Различать Числа — Дайте учащимся только правильные числа, чтобы они могли прочитать задачу, не увязая в вычислениях
  3. Используйте академический словарь — Будьте последовательны в том, что вы используете.
  4. Хватит искать «Ответ» — дело не в ответе; речь идет о процессе
  5. Различие между моделями и стратегиями – одна связана с отношениями между числами, а другая связана с тем, как учащиеся «решают» или вычисляют задачу.

Обучаю соотношению чисел в задачах со словами

Я обучаю задачам со словами, удаляя числа. Звучит странно, верно? Удаление отвлекающих факторов помогает учащимся сосредоточиться на проблемной ситуации и понять действие или взаимосвязь чисел.Это также удерживает учащихся от решения задачи до того, как мы поговорим о взаимосвязи чисел.

Когда я преподаю текстовые задачи, я даю ученикам задачи с пробелами и без цифр. Сначала поговорим о действии в задаче. Мы определяем, добавляется ли что-то к чему-то другому или отнимается от чего-то другого. Это становится нашим уравнением. Мы определяем, что нам нужно решить, и составляем уравнение с пробелами и квадратом для неизвестного числа.

___ + ___ = неизвестно

Хотите бесплатный образец текстовых задач, которые я использую в своем классе? Щелкните ссылку или изображение ниже.БЕСПЛАТНЫЙ пример текстовых задач по типам задач

Различие чисел в задачах Word

Только после того, как мы обсудили задачу, я даю ученикам числа. Я различаю числа в зависимости от потребностей учащихся. В начале года мы все делаем одни и те же числа, чтобы я мог убедиться, что ученики понимают процесс.

После того, как учащиеся ознакомятся с процессом, я начинаю давать разным учащимся разные числа в зависимости от их уровня математического мышления.Я также меняю числа в течение года с однозначных на двузначные числа. Прелесть пустых мест в том, что я могу вставить в задачу любые числа, которые захочу, чтобы попрактиковаться в стратегиях, над которыми мы работали в классе.

В какой-то момент мы создаем список слов, но не список ключевых слов. Мы создаем список действий или глаголов и определяем, соединяют ли эти действия что-то или разделяют. Сколько вы можете придумать? Вот несколько идей:

Присоединяйтесь: положил, получил, взял, купил, сделал
Раздельно: съел, потерял, положил, уронил, использовал

Не бойтесь использовать академическую лексику

Я учу своих учеников определять начало проблемы, изменение в задаче и результат задачи.Я учу их искать неизвестных . Это все слова, которые мы используем при решении задач, и мы изучаем структуру словесной задачи через словарный запас и взаимосвязь чисел.

На самом деле, использование одного и того же словаря для разных типов задач помогает учащимся увидеть взаимосвязь чисел на более глубоком уровне.

Возьмите эти примеры, можете ли вы определить начало , изменение и результат в каждой задаче?

Подсказка: посмотрите на код, используемый для типа задачи, в правом нижнем углу.

Для задач сравнения мы используем термины больше , меньше , больше и меньше . Попробуйте решить эти задачи и посмотрите, сможете ли вы определить компоненты словесных задач.

Перестаньте искать «ответ»

Это заблуждение, которое труднее всего разрушить. Студенты не решают словесную задачу, чтобы найти «ответ». Хотя ответ помогает мне, учителю, понять, понял ли ученик взаимосвязь чисел, я хочу, чтобы ученики могли объяснить свой процесс и понять глубину словесных задач.

Ладно, это первоклассники и второклассники. Я знаю.

Мои ученики все еще могут объяснить после обучения, что они начинают ed с одного числа. Проблема результат ед в другом другом номере. Затем учащиеся узнают, что они ищут замену на между этими двумя числами.

Все дело в отношениях.

Различие между моделями и стратегиями

Пару лет назад я наткнулся на эту статью о необходимости помочь учащимся разработать адекватные модели, чтобы понять взаимосвязь чисел в задаче.

У меня в голове взорвалась лампочка. Мне нужно было провести различие между моделями, которые студенты используют для понимания связи чисел в задаче, и стратегиями решения вычислений в задаче. Эти две вещи работают в тандеме, но очень разные.

Модели — это визуальные способы представления проблем. Стратегии — это способы, которыми учащийся решает задачу, складывая и разбирая числа.

Самое главное в моделях — отойти от них.Я знаю, это звучит странно.

Вы так долго обучаете студентов пользоваться моделями, а потом не хотите, чтобы они использовали модели. Ну, на самом деле, вы хотите, чтобы студенты двигались к эффективности.

Младшие школьники будут разыгрывать задачи, рисовать задачи с изображениями и рисовать задачи с кругами или линиями. Направьте учащихся к эффективности. По мере увеличения чисел модель должна представлять отношение чисел


. Это яркий пример перехода от модели с перевернутой буквой v к модели со столбиками.

Вот ученик, который переходит от рисования кругов к использованию перевернутой буквы V.

Учащиеся должны полностью использовать одну модель, прежде чем переходить на другую. Они могут даже использовать два одновременно, пока выясняют сходство между моделями.

Студенты также должны иметь возможность создавать свои собственные модели. Вы увидите, как я иногда давал ученикам копии модели, которые они могли вклеить в свои тетради, а иногда ученики рисовали свою собственную модель. Они должны нести ответственность за выбор того, что лучше всего подходит для них.Начните обучение с конкретных моделей, а затем позвольте учащимся выбрать одну из них для использования. Всегда подталкивайте учащихся к более эффективным моделям.

То же самое касается стратегий для вычислений. Сначала обучайте стратегиям с помощью математических фактов, а затем применяйте их к текстовым задачам, чтобы учащиеся понимали стратегии и могли быстро выбрать одну из них для использования. При обучении сосредоточьтесь на одной или двух стратегиях. Как только учащиеся овладеют некоторыми стратегиями, попросите их выбрать стратегии, которые работают для решения различных задач.

Будьте целеустремленны в числах, которые вы выбираете для своих текстовых задач. Разные наборы чисел подходят для разных стратегий и разных моделей. Используйте числовые наборы, которые учащиеся уже использовали в вычислениях. Если вы научились делать 10, используйте числа, которые составляют 10. Если вы работаете над сложением без перегруппировки, используйте эти наборы чисел. Чем больше связей вы сможете установить между вычислениями и решением задачи, тем лучше.

Приведенные выше примеры в основном предназначены для задач объединения и разделения.Неудивительно, что у наших студентов такие трудности с задачами на сравнение, поскольку мы не учим их в той же степени, что и задачи на соединение и разделение. Нашим ученикам нужно еще больше практиковаться в подобных задачах, потому что отношения между числами более абстрактны. Однако я собираюсь оставить это для другого поста в блоге.

Вы хотите получить БЕСПЛАТНЫЙ образец ресурса, который я использую для обучения задачам на сложение и вычитание по типу задач ? Нажмите на эту ссылку или изображение ниже.

Полный ресурс также доступен в моем магазине для покупки и на сайте Teachers Pay Teachers.

Другие идеи для обучения словесным задачам

Самособирающиеся микротрубчатые электроды для внутричиповых низковольтных электрофоретических манипуляций с заряженными частицами и макромолекулами

Самосворачиваемое мембранное устройство, изготовленное методом деформационной инженерии

Массив микротрубок (S-RuM) был изготовлен на кристалле с помощью двух- объемная планарная обработка литографии. Металлические (Au) электроды были нанесены на формованные мембраны AlN, которые затем были сняты с подложки, чтобы свернуть и создать архитектуру трубчатых электродов с манжетой.Для упрощения оптических характеристик была выбрана полупрозрачная смешанная фаза (от C до M) сапфировых подложек; однако нет таких технических ограничений для использования альтернативных изолирующих подложек, таких как подложки из стекла или КНИ. Этапы процесса изготовления S-RuM изображены на рис. 1а, а также подробно описаны в разделе «Материалы и методы». Электроды из золота сконструированы так, что они не только обеспечивают оптимальный контроль напряжения и однородность, но и не мешают оптическим характеристикам (рис.1б). Осевая конфигурация электродов обеспечивает лучшее определение и контроль электрического поля внутри микротрубчатого канала по сравнению с некоторыми другими трехмерными (столбчатыми или боковыми электродами) и плоскими версиями электродов. Стоит отметить, что текущая двумерная геометрия (I-образная) электродов просто выбрана для минимизации помех от электродов во время оптических измерений/визуализации входящих микро/наночастиц. Гораздо больше контроля и однородности можно достичь путем прокатки более сложных двумерных геометрий, таких как встречно-штыревые электроды (дополнительное примечание 1).При входе микрочастицы испытывают значительную турбулентность из-за капиллярных сил, которые могут значительно мешать исследованиям контроля электронного поля. Таким образом, расстояние между электродами (80 мкм) и длина трубки (1500 мкм) были оптимизированы, чтобы свести к минимуму такие эффекты и обеспечить изучение полностью развитого потока. Расстояние между электродами обозначается как длина пути, поскольку это продольное расстояние, которое заряженные частицы внутри микротрубки должны пройти под действием электронного поля.«Внутренняя» природа электрода требует манипулирования DEP, но структура с тремя электродами (левый, средний и правый) просто служит в качестве устройства проверки концепции для манипуляции заряженными видами, и нет никаких практических ограничений на интеграцию. больше линий подачи электродов внутри микропробирки или теоретические ограничения для использования более сложных методов манипуляции, чем электрофорез.

Рис. 1: Конструкция и изготовление микропробирочного устройства 3D S-Rum.

a Сверху вниз этапы изготовления микротрубчатого устройства S-RuM: (i) напыление электронно-лучевым излучением расходуемого слоя Ge на прозрачной сапфировой подложке, (ii) затем напылением наносится напряженный двухслойный слой AlN и формируется рисунок с использованием фотолитографии, (iii) электронно-лучевое испарение электродов из золота и формирование рисунка до желаемой 2D-геометрии, (iv) селективное травление в газовой фазе расходуемого слоя Ge для запуска самопроизвольного скручивания устройства 3D S-RuM из микротрубок. b Схема «развернутого» устройства, показывающая электродные подушечки и оптическое изображение справа, показывающее двухмерную геометрию электродов из золота, которые должны быть надеты манжетой после того, как они свернуты. Общая длина трубки составляет 1500 мкм, а длина продольного перемещения (зазор между электродами) для частиц составляет 80 мкм. c Оптическое изображение набора микротрубок на чипе. Справа полное и увеличенное СЭМ-изображения микропробирки под углом, показывающим диаметр (~ 25  мкм) пробирки (обратите внимание, что пробирка не является идеально цилиндрической, поскольку металлические электроды в этом исследовании не прокатаны по всей стенке трубки, чтобы оставить окно для целей визуализации)

Бислои, нагруженные AlN, были подвергнуты деформации, чтобы получить определенную трехмерную геометрию микротрубки (подробности процесса оптимизации напряжения см. в дополнительном примечании 2).Толщина двойного слоя (60 нм), кумулятивное напряжение (растягивающая мембрана +400 МПа поверх сжимающей мембраны -1200 МПа) и двумерная геометрия мембраны тщательно контролируются для получения трубок диаметром ~25 мкм с ~1,5 витками. (рис. 1в). Чтобы еще больше улучшить выход и интерференцию электронного поля микротрубчатых устройств, мы выборочно изолируем область электродов, которая находится за пределами микротрубки, с помощью тонкого (10 нм) пассивирующего слоя оксида алюминия. Таким образом, только область электрода внутри микротрубки находится в непосредственном контакте с интересующей жидкостью.

Общая трехмерная геометрия устройства S-RuM, свойства материалов компонентов и осевой характер электродов — все это влияет на чувствительность, с которой можно манипулировать заряженными частицами для перемещения внутри канала. В следующем разделе влияние электронного поля на положение и скорость частиц подробно продемонстрировано с использованием раствора полистироловых микросфер.

В целях детерминистической перекачки и управления подачей раствора обязательно, чтобы платформы S-Rum были инкапсулированы микро/нанофлюидным контуром.Интеграция имеет три основных требования: изготовление микро/нанофлюидных каналов на мягком полимерном материале, таком как полидиметилсилоксан (PDMS), выравнивание каналов с микросхемой и прикрепление PDMS к подложке для воздушной герметизации каналов (предотвращения утечки). Мы использовали обычную фотолитографию для стратегического позиционирования микротрубок на чипе, тем самым позволяя инкапсулировать микрофлюидику на основе PDMS (дополнительное примечание 3), чтобы она служила интегрированным устройством. Подробности о микрофлюидной интеграции описаны в разделе «Материалы и методы».

Динамика частиц и полезность устройства

Внутри микротрубчатого канала, в дополнение к силе вязкого сопротивления (F сопротивление ) в осевом направлении, на частицы также действуют две противоположные поперечные силы (сила отталкивания стенки (F стенка ) и подъемной силы градиента сдвига (F сдвиговая подъемная сила )). Таким образом, вдоль продольного направления микротрубки частицы испытывают как осевые, так и латеральные силы, заставляющие их мигрировать к местам равновесия (рис.2а). Для заряженных или поляризуемых частиц можно использовать дополнительную внешнюю электростатическую силу (F E ) для управления их положением и скоростью внутри канала. Если поле постоянного тока (DC) приложено по касательной к поверхности канала, свободная частица внутри двойного электрического слоя (EDS) будет реагировать на поле и двигаться к противоэлектроду. Однако толщина EDL в большинстве каналов, несущих буферные растворы, намного меньше, чем характерные длины типичных микрожидкостных каналов 49 .Таким образом, микротрубчатое устройство, опосредованное электрическим полем, обеспечивает более равномерное линейное электрокинетическое движение внутри трубчатого канала (по поперечному сечению) за счет преобразования подводимой электрической энергии в кинетическую энергию микрочастиц. Электрические поля постоянного тока можно использовать как для электроосмоса жидкости, так и для электрофореза частиц внутри микроканалов; таким образом, манипуляции с частицами в нашем исследовании электрофоретических манипуляций не требуют гидродинамической прокачки раствора твердых частиц. Микронасос используется для управления подачей раствора в виде частиц (сферы из полистирола размером 1 мкм) внутрь пробирки (подробности в разделе «Материалы и методы»).Средняя скорость затем используется для количественной оценки движения заряженных частиц внутри микротрубок с тремя электродами по отношению к приложенному смещению. Один конец (левый) микропробирки заполняется небольшим объемом раствора твердых частиц до тех пор, пока капиллярное действие не заполнит всю пробирку. Для предотвращения преждевременного высыхания раствора готовят специальную смесь, а также помогают свести к минимуму электрохимическое воздействие на поверхность электрода (подробности о растворе приведены в разделе «Материалы и методы»; см. также дополнительное примечание 4 для сведения к минимуму электрохимического воздействия). эффекты).Затем вдали от точки входа микрочастицам дают стабилизироваться перед смещением среднего электрода и крайнего правого электрода. Сферы из полистирола, использованные в нашем исследовании, имеют собственный отрицательный дзета-потенциал и, таким образом, движутся к положительному выводу. На рис. 2b и c показан пропорциональный отклик с увеличением средней скорости по мере увеличения приложенного смещения (до 3,5 В). Как и ожидалось, частицы ускоряются, а средняя скорость в канале увеличивается с ростом электронного поля.Начиная с 3,5 В, частицы, находящиеся вне центра, испытывают чрезмерную электрическую подъемную силу, и канал начинает искажаться. Для частиц внутри и вокруг оси канала электронное поле симметрично как в осевом, так и в поперечном направлениях. Однако для нецентральных частиц распределения линий электронного поля в поперечных направлениях становятся асимметричными. Эта асимметрия приводит к тому, что электрическая подъемная сила, вызванная стенками, заставляет частицу дрейфовать от стенок 50,51 . Двигаясь от центра к стенке канала, этот индуцированный стенкой электрический подъем (искажение канала) становится более выраженным с увеличением поля постоянного тока.При напряжении выше 6 В чрезмерное накопление отрицательно заряженных микросфер на противоэлектроде противодействует электростатической силе; таким образом, канал медленно пережимается по мере уменьшения средней скорости частиц. Дополнительные видеоролики 1–4 показывают фрагмент поведения частиц в реальном времени, на которые воздействует электрическое поле постоянного тока.

Рис. 2: Динамика частиц внутри микротрубочного устройства.

a Схематическое изображение, показывающее сечение микротрубки (диаметр, D) с параболическим профилем потока жидкости и микрочастицу, испытывающую F стенку (сила отталкивания от стенки трубки), F сдвиговую подъемную силу (градиент сдвига подъемная сила), F drag (вязкостная сила сопротивления) и внешняя F E (электростатическая сила), отвечающая за положение и скорость частиц внутри микротрубки. b Схематические изображения (слева направо), показывающие переходное поведение частиц между электродами внутри микропробирки. От 0 до 3,5 В скорость увеличивается до тех пор, пока профиль скорости не станет более однородным. Начиная с 3,5 В, канал начинает искажаться, а затем, наконец, перекрывается, когда межчастичное отталкивание мешает F E . c График, показывающий увеличение средней скорости частиц при приложенном смещении (от 0 до 3,5 В).2\right)$$

, где В м — средняя скорость (рассчитывается как 1.614 мкм/с), r — радиальное положение от центра, а R — радиус трубки. Данные на рис. 3 являются результатом отслеживания нескольких частиц в разных кадрах, временных интервалах и при разных условиях смещения. Для проведения точных измерений очень важно совместить интересующую фокальную плоскость с системой визуализации. Эффекты осевых и угловых смещений подробно объясняются в дополнительном примечании 5. На рисунке 3а показано сравнение между теоретическими и экспериментальными профилями скорости микрочастиц внутри микротрубчатого устройства диаметром 25 мкм в условиях нулевого смещения.Применение постоянного смещения 1 В увеличивает среднюю скорость микрочастиц; однако профиль скорости по-прежнему неоднороден по отношению к радиальному положению, как показано на рис. 3б. По мере постепенного увеличения приложенного смещения турбулентность в потоке увеличивается, и профили скорости частиц становятся гораздо более однородными на большей части потока (рис. 3в). Значительно более резкое изменение скорости наблюдается вблизи границы из-за условия прилипания на стенках канала. В геометрически неоднородном микроканале нарушение симметрии электронного поля может привести к эффектам диэлектрофоретического движения частиц при воздействии постоянного электрического поля, а влияние изолирующей стенки канала может быть значительно трудно обуздать.Большинство традиционных микрожидкостных каналов имеют прямоугольную форму, и эти краевые эффекты становятся более заметными, когда частицы движутся в поперечных направлениях 52 . Следовательно, осевой и трубчатый характер электродов внутри канала с круглым поперечным сечением может свести к минимуму такие эффекты и привести к более однородным фронтам жидкости. Как показано на рис. 3d, вблизи радиуса не менее 5 мкм стандартное отклонение скорости частиц постепенно уменьшается до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное состояние электронного поля.Эффекты большей величины полей постоянного тока были объяснены в предыдущих обсуждениях (рис. 2c). Отклонения от традиционных электрокинетических явлений также можно понять, изучив влияние электронного поля на электрофоретическую подвижность микросфер PSB (1 мкм). В дополнительном примечании 6 подробно объясняется влияние электронного поля и скорости частиц на электрофоретическую подвижность. Кроме того, мы использовали 200-нм полистирольные латексные сферы для демонстрации объемных манипуляций, а соответствующие кадры видео и изображения флуоресцентной микроскопии можно найти в дополнительном примечании 7.

Рис. 3: Управление скоростью частиц в зависимости от приложенного напряжения.

a Теоретическое и экспериментальное сравнение полностью развитого профиля скорости микрочастиц внутри микротрубки (радиальное положение) из-за потока жидкости. Обратите внимание, что сферы на стенках трубки (при ±12,5 мкм) по-прежнему имеют ненулевую скорость, поскольку они стремятся катиться по внутренней стенке. b Изменение профиля скорости (чистое увеличение скорости частиц) из-за внешней электростатической силы (F E ). c Скорость частиц как функция приложенного смещения. Синяя стрелка показывает увеличение величины приложенного смещения, а оранжевая стрелка показывает направление электрического поля внутри микротрубки. По мере того, как напряжение постепенно увеличивается, профиль скорости становится плоским d , что видно из нисходящей тенденции (полая черная стрелка) стандартного отклонения скорости частицы по отношению к увеличению смещения. При удалении от центра разница становится более заметной из-за краевых эффектов

Крупномасштабное хранение данных на основе макромолекул (ДНК) в значительной степени зависит от трудоемкого ручного пипетирования растворов ДНК для синтеза и микроанализа.Платформа автоматизированной лаборатории на кристалле (LOC) внесет значительный вклад в масштабируемость промышленного уровня для хранения цифровых данных на основе ДНК. Использование электрофореза для управления последовательным захватом, удержанием и высвобождением молекул ДНК на чипах требует интеграции устройств захвата, опосредованных электрическим полем 16 . Учитывая диаметр ДНК (~ 2  нм), для таких устройств потребуются совместимые размеры каналов, встроенные электроды и однородные электронные поля для точного контроля движения ДНК внутри канала.В нашем исследовании мы демонстрируем полезность манипулирования заряженными частицами внутри закрытой трубчатой ​​структуры, и, как показано на рис. 4, мы расширяем нашу полезность, улавливая ДНК с низкой молекулярной массой (mw) внутри микропробирки путем соответствующего смещения электродов в манжете. , который был недавно предложен Athreya et al. 53 . Механизмы стратегической загрузки и захвата ДНК изображены на рис. 4а. ДНК с низкой молекулярной массой, используемая в нашем исследовании, имеет суммарный отрицательный заряд и может быть обнаружена оптически с использованием флуоресцентной микроскопии с лазерным возбуждением.Таким образом, на средний электрод подается более положительное напряжение, чтобы управлять, захватывать и концентрировать ДНК в центре пробирки. Геометрия трубчатого электрода обеспечивает равномерные силовые линии между параллельными электродами, что облегчает удержание ДНК внутри канала. Изображения оптической и флуоресцентной микроскопии на рис. 4b–d выделяют артефакты, связанные с загрузкой ДНК, манипуляциями и обнаружением соответственно. Мы считаем, что 3D-платформа, такая как S-RuM, построенная на 2D-планарной обработке, может быть оптимизирована для обеспечения гораздо более однородного электрического поля и, таким образом, более эффективного манипулирования ДНК внутри интегрированных электронных устройств с нано- или микромасштабным разрешением по сравнению с микрофлюидикой, основанной на нетрубчатых конструкциях электродов. .В следующем разделе, чтобы поддержать наш аргумент, мы провели динамическое моделирование для микрожидкостных устройств, несущих буферные растворы ДНК, и сравнили профили электронного поля внутри трубчатой ​​конструкции (например, S-RuM) с их плоскими аналогами.

Рис. 4: Устройство, используемое для механизма захвата/удержания/высвобождения ДНК.

3D-схема , показывающая, что трубчатое устройство заполнено веществами, содержащими заряженные частицы (в нашем случае нано/микросферы и ДНК). Справа, когда капиллярное действие имеет место и равномерно заполняет трубку заряженными частицами, низкое положительное напряжение прикладывается к среднему электроду, а низкое отрицательное напряжение прикладывается к внешним электродам для захвата и удержания заряженных частиц внутри трубки. . b Оптическое изображение, показывающее иглу микрошприца, стратегически расположенную рядом с концом канала и близко к трубке для легкого дозирования жидкости. c Оптическое изображение, показывающее капиллярную шейку, образовавшуюся на отверстии трубки после дозирования жидкости. d Низкая разность потенциалов ~2 В достаточна для перемещения ДНК с левого электрода на средний. Метки 1, 2 и 3 представляют собой изображения флуоресцентной микроскопии, служащие доказательством локализации ДНК в направлении среднего электрода путем соответствующего смещения электродов

Валидация с использованием мультифизического моделирования

электродов, длина экранирования электролита (или длина Дебая), которая обратно пропорциональна квадратному корню из концентрации электролита, имеет центральное значение.Следовательно, размеры каналов, несущих цепи ДНК, должны быть оптимизированы вместе с концентрацией электролита, чтобы избежать утечки цепей ДНК. Сначала мы смоделировали структуру устройства с плоскими электродами, изображенную на рис. 5а 53 . Структура состояла из подложки из оксида алюминия размером 50 мкм × 100 мкм, на которую был нанесен золотой электрод размером 200 нм × 25 мкм. Эта установка была инкапсулирована полидиметилсилоксаном (PDMS), оставляя туннель высотой 25 мкм. Для расчета электростатического потенциала внутри туннелей (как показано на рис.5б). Линии электрического поля направлены вверх внутри туннеля.

Рис. 5: Динамика электростатического потенциала внутри спроектированного устройства с плоскими электродами.

a Поперечное сечение устройства в плоскости z–y. b Электрический потенциал с силовыми линиями внутри туннеля с 1 нМ растворами KCl при смещении 1 В. в , г Электрический потенциал по высоте тоннеля при различных смещениях напряжения, подаваемого на золотой электрод: в -1 В и г 1 В

На рис. 5в и г показаны профили электростатического потенциала внутри тоннеля при смещения приложенного напряжения 1 В и -1 В соответственно, а концентрации электролита внутри туннелей варьируются от 1 М до 1 нМ.Здесь видно резкое падение потенциала на поверхности электрода, за которым следует экспоненциальное уменьшение от границы электрод-электролит к дальнему концу туннеля. Для 1 M KCl потенциал падает до 0 В в пределах нескольких нанометров от границы раздела. Однако электрический потенциал на дальнем конце (z = 25 мкм) туннеля снижается до 0 В, что создает путь для выхода химерных цепей ДНК из туннеля.

Обнадеживающим решением проблемы является использование закрытой конструкции устройства, такой как трубчатая конструкция, в которой электроды покрывают все стенки туннелей, в результате чего внутри канала создается однородное радиальное электрическое поле, как показано на рис.6а. На рис. 6а и б показана структура устройства, состоящая из скрученных трубок из нитрида алюминия с золотыми электродами в манжетах для контроля потока ДНК и ее электростатического потенциала внутри туннелей соответственно. Можно заметить, что линии электрического поля направлены внутрь трубки, создавая однородный и концентрированный потенциал.

Рис. 6: Динамика электростатического потенциала внутри разработанного трубчатого электродного устройства.

a Поперечное сечение катаной трубы в плоскости z–y. b Электрический потенциал с силовыми линиями внутри пробирки с 1 нМ растворами KCl при смещении 1 В. в , г Электрический потенциал по диаметру прокатанной трубы при различных напряжениях смещения, приложенных к золотому электроду: в -1 В и г 1 В

На рис. 6в и г показан электростатический профиль внутри трубы при приложенном напряжении смещения 1 В и -1 В, соответственно, с различной концентрацией электролита внутри трубки. Электрические потенциалы с более низкими концентрациями электролита, такими как 1 мкМ и 1 нМ, остаются на уровне ~ ±100 мВ и ~ ±300 мВ соответственно в центре трубки.Это ясно указывает на то, что движением биомолекул, таких как ДНК, можно эффективно управлять с помощью напряжения, подаваемого на электроды с манжетами в структурах устройства S-RuM.

Таким образом, мы сообщаем о универсальной встроенной технологии для управления частицами в микроканалах с помощью трехмерного электрического поля. Масштабируемые и совместимые планарные методы обработки, о которых сообщалось в нашем исследовании, могут использоваться для включения различных материалов, а также для оптимизации трубчатой ​​геометрии для многочисленных приложений в области микро/нанофлюидики.Компактная конструкция не только обеспечивает точный контроль жидкости, но и снижает расход пробы; кроме того, сильные эффекты удержания позволяют эффективно манипулировать частицами. Более низкие напряжения (<2–4 В) могут использоваться для создания гораздо более сильного электронного поля (>10 4  В/м) между электродами. Это снижает энергопотребление и уменьшает эффект джоулевого нагрева, который преобладает в других конструкциях устройств для 3D-электрофореза с рабочим напряжением >10 3 вольт.Кроме того, нынешняя конструкция может быть легко адаптирована для методов манипулирования на основе DEP, которые потребуют еще более низкого рабочего напряжения от пика к пику.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.