Содержание

Сумма (математика) — это… Что такое Сумма (математика)?

У этого термина существуют и другие значения, см. сумма.

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

  • а + b = b + a
  • а + (b + с) = (а + b) + с
  • (а + b) с = ас + bc
  • с (а + b) = ca + cb

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых ak, ak+1, …, aN обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой по

i от k до N.

Для удобства вместо иногда пишут , где — некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где

Свойства определённой суммы

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:


2. Сумма геометрической прогрессии:


3.

Почему это так  


4.

Почему это так  

Доказательство:


5.

Почему это так  

Доказательство:

Стоит заметить, что при получаем , а это последовательность равенств следующего вида:

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма , то . 

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчесления. — седьмое. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

См. также

определение и свойства. Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы

ЛЕКЦИЯ № 1

1.  Символ 

В математике часто приходится рассматривать сумму большого числа слагаемых. Для таких сумм введено следующее обозначение:

Индекс  называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования может быть употреблена и любая другая буква.

Имеют место следующие правила обращения со знаком суммы ,

1.  Обозначение индекса суммирования может быть изменено                             

2.  Множитель,  не  зависящий  от  индекса  суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

3.  Два знака суммы могут быть переставлены

Доказательство приведенных правил легко доказывается на основании введенного символа суммирования. Для примера доказательства докажем правило 2.

Что и требовалось доказать.

2.  Детерминанты. Определение и свойства

Определение. Матрицей размеров  называется совокупность  чисел, расположенных в виде таблицы из  строк и  столбцов:

Числа , составляющие матрицу, называются элементы матрицы и обозначаются буквами с двумя индексами, первый из них обо­значает номер строки, а второй – номер  столбца. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Если же число строк в матрице неравно числу столбцов, то матрица называется  прямоугольной.

Детерминантом (определителем) матрицы  мы будем обозначать  или,

Определение. Детерминант квадратной матрицы – это число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по ее элементам по формуле.

 — элементы  матрицы

— алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы, которое вычисляется по формуле

где — минор соответствующего элемента матрицы.   

Определение. Минор это детерминант матрицы порядка , полученной из  вычеркиванием  строки и -го столбца.

Определение. Матрица порядка 1 состоит из одного числа, и ее детерминант по определению считают равным этому числу.

На первый взгляд это определение может показаться не эффективным: детерминант матрицы порядка определяется через детерминанты матрицы порядка , а эти детерминанты сами не определены. В действительности же в этом ничего, плохого нет. Для определения чисел мы можем воспользоваться той же формулой, поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим через детерминанты матриц порядка . Можно продолжать этот процесс, пока мы не придем к матрицам первого порядка, а для них детерминант определен непосредственно.

Применим наше определение к матрицам 2 – го  порядка.

Единичной матрицей называется матрица.

Для нее , так как, раскрывая определитель по определению, мы получаем  и так далее. И окончательно .

Определение. Если в матрице  поменять местами строки и столбцы, то полученная матрица будет называться транспонированной, а переход от к  — транспонирование.

Матрицу, полученную из матрицы  транспонированием, обозначают .

Сформулируем одну очень важную теорему в теории определителей.

Теорема. Для каждой квадратной матрицы порядка  имеет место формула

 

или                                         

Эти формулы называются формулами разложения детерминанта соответственно по строке и по столбцу.

Доказательство: Доказательство мы проведем методом полной индукции. Начнем с первой формулы. Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива 

Допустим, что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для матрицы порядка.

При любом  минор  рассматриваемой матрицы есть детерминант некоторой матрицы порядка , в которую входит (без своего элемента) -я строка матрицы . Пользуясь предположением индукции, мы можем разложить по этой строке.

 

Минор  получен из матрицы вычеркиванием 1-й и -й строк и -го и -го столбцов, таким образом у нас . И мы получим, поменяв порядок суммирования

      

Что и требовалось доказать.

Доказательство второй формулы теоремы совершенно аналогично проведенному доказательству и провести его, мы предоставляем читателю.

Свойства детерминантов.

Свойство 1. Для любой квадратной матрицы

Доказательство: Доказательство мы проведем методом полной индукции. Начнем с первой формулы. Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива 

Допустим, что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для матрицы порядка.

Пусть матрица, получаемая из вычеркиванием -й строки и -го столбца, а матрица , получаемая из вычеркиванием -й строки и -го столбца. Легко видеть, что, . Поэтому из предложения индукции следует, что  , или, словами, дополнительный минор элемента в матрице равен дополнительному минору элемента в матрице . Кроме того, , и разложение  по -й строке совпадает с разложением по -му столбцу. Свойство доказано.

Символ суммы в ворде

Знак суммы один из востребованных элементов в математике, часто он и используется в программе ворд, для написания разнообразных формул в ТЗ, курсовых.

В программе ворд, можно поставить пять видов знаков суммы, рассмотрим подробную инструкцию, как их можно поставить:

Первый шаг. Откроем новую книгу, на верхней панели выберем закладку «Вставка», в которой ищем блок с настройками (находиться в самом правом углу) «Символы» и нажимаем на иконку с надписью «Формула». Чтобы на экране появилось специальное меню.

Второй шаг. Проваливаемся в это специальное меню, а в конструкторе формул находим иконку с подписью «Крупный оператор» и нажимаем на него. После чего на экране появиться выбор знаков суммы.

Для данного примера, я выбрал второй знак суммы, а вы можете поставить тот, который подходить для решения вашей конкретной задачи.

Как вы наверняка уже знаете, в Microsoft Word есть довольно-таки большой набор специальных знаков и символов, которые при необходимости можно добавить в документ через отдельное меню. О том, как это сделать, мы уже писали, и более подробно ознакомиться с данной темой вы можете в нашей статье.

Помимо всевозможных символов и знаков, в MS Word также можно вставлять различные уравнения и математические формулы, используя готовые шаблоны или создавая собственные. Об этом мы тоже писали ранее, а в данной статье хотим поговорить о том, что имеет отношение к каждой из вышеупомянутых тем: как вставить значок суммы в Ворде?

Действительно, когда необходимо добавить этот символ, становится непонятно, где его искать — в меню символов или в математических формулах. Ниже мы обо всем подробно расскажем.

Знак суммы — это математический знак, и в Ворде он расположен в разделе “Другие символы”, если точнее, в разделе “Математические операторы”. Итак, чтобы его добавить, выполните следующие действия:

1. Кликните в том месте, куда необходимо добавить знак суммы и перейдите во вкладку “Вставка”.

2. В группе “Символы” нажмите на кнопку “Символ”.

3. В окошке, которое появится после нажатия на кнопку, будут представлены некоторые символы, но знака суммы вы там не найдете (по крайней мере, если ранее его не использовали). Выберите раздел “Другие символы”.

4. В диалоговом окне “Символ”, которое перед вами появится, выберите из выпадающего меню набор “Математические операторы”.

5. Найдите среди открывшихся символов знак суммы и кликните по нему.

6. Нажмите “Вставить” и закройте диалоговое окно “Символ”, чтобы продолжить работу с документом.

7. Знак суммы будет добавлен в документ.

Использование кода для быстрой вставки знака суммы

У каждого символа, расположенного в разделе “Символы”, есть свой код. Зная его, а также специальную комбинацию клавиш, вы можете добавлять любые символы, в том числе и значок суммы, значительно быстрее.

Узнать код знака можно в диалоговом окне “Символ”, для этого достаточно кликнуть по необходимому знаку.

Здесь же вы найдете комбинацию клавиш, которую необходимо использовать для преобразования числового кода в необходимый символ.

1. Кликните в том месте документа, где требуется поставить знак суммы.

2. Введите код “2211” без кавычек.

3. Не перемещая курсор с этого места, нажмите клавиши “ALT+X”.

4. Введенный вами код будет заменен на знак суммы.

Вот так просто можно добавить знак суммы в Ворде. В этом же диалоговом окне вы найдете огромное количество всевозможных символов и специальных знаков, удобно отсортированных по тематическим наборам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Иногда у пользователя возникает необходимость написать в Microsoft Word математическую формулу, в которой присутствует специальный знак суммы. Искать данный символ мы будем в соответствующем разделе, а именно «Математические операторы». Итак, поехали.

1. Кликните левой кнопкой мыши в том месте, в которое собираетесь добавить знак суммы, затем перейдите во вкладку «Вставка».

2. Нажмите на иконку «Символы» в правом углу панели, затем в выпадающем списке выберите «Символ».

3. В данном окне предоставлено некоторое количество символов, отсутствующих на клавиатуре. Как видите, знака суммы тут нет, поэтому переходим в раздел «Другие символы».

4. В появившемся окне вам необходимо сменить набор символов, выбрав из выпадающего меню набор «Математические операции».

5. В появившейся коллекции определенно должен быть знак суммы — кликните по нему.

6. После выделения символа нажмите кнопку «Вставить», чтобы отразить его в нужном месте.

Использование горячих клавиш

Приятным дополнением Office Word является специальный код, присвоенный каждому символу. С помощью специальной комбинации клавиш вы сможете получить нужный результат, не используя специальное меню.

Узнать данный код вы сможете в ранее открытом окне «Символ». Кликните по необходимому и увидите нужные вам данные в соответствующих полях.

1. Кликните в подходящем участке документа левом кнопкой мыши, чтобы выделить место для вставки символа.

2. Напечатайте код 2211.

3. Воспользуйтесь горячей клавишей Alt+X

4. Введенный код заменится на символ суммы.

С помощью вышеуказанных инструкций вы без проблем сможете поставить знак суммы в Ворде. Надеемся, вам помогла наша статья.

Как в Ворде поставить знак суммы

Как вы наверняка уже знаете, в Microsoft Word есть довольно-таки большой набор специальных знаков и символов, которые при необходимости можно добавить в документ через отдельное меню. О том, как это сделать, мы уже писали, и более подробно ознакомиться с данной темой вы можете в нашей статье.

Урок: Вставка специальных знаков и символов в Ворде

Помимо всевозможных символов и знаков, в MS Word также можно вставлять различные уравнения и математические формулы, используя готовые шаблоны или создавая собственные. Об этом мы тоже писали ранее, а в данной статье хотим поговорить о том, что имеет отношение к каждой из вышеупомянутых тем: как вставить значок суммы в Ворде?

Урок: Как вставить формулу в Word

Действительно, когда необходимо добавить этот символ, становится непонятно, где его искать — в меню символов или в математических формулах. Ниже мы обо всем подробно расскажем.

Знак суммы — это математический знак, и в Ворде он расположен в разделе “Другие символы”, если точнее, в разделе “Математические операторы”. Итак, чтобы его добавить, выполните следующие действия:

1. Кликните в том месте, куда необходимо добавить знак суммы и перейдите во вкладку “Вставка”.

2. В группе “Символы” нажмите на кнопку “Символ”.

3. В окошке, которое появится после нажатия на кнопку, будут представлены некоторые символы, но знака суммы вы там не найдете (по крайней мере, если ранее его не использовали). Выберите раздел “Другие символы”.

4. В диалоговом окне “Символ”, которое перед вами появится, выберите из выпадающего меню набор “Математические операторы”.

5. Найдите среди открывшихся символов знак суммы и кликните по нему.

6. Нажмите “Вставить” и закройте диалоговое окно “Символ”, чтобы продолжить работу с документом.

7. Знак суммы будет добавлен в документ.

Урок: Как вставить значок диаметра в MS Word

Использование кода для быстрой вставки знака суммы

У каждого символа, расположенного в разделе “Символы”, есть свой код. Зная его, а также специальную комбинацию клавиш, вы можете добавлять любые символы, в том числе и значок суммы, значительно быстрее.

Урок: Горячие клавиши в Ворде

Узнать код знака можно в диалоговом окне “Символ”, для этого достаточно кликнуть по необходимому знаку.

Здесь же вы найдете комбинацию клавиш, которую необходимо использовать для преобразования числового кода в необходимый символ.

1. Кликните в том месте документа, где требуется поставить знак суммы.

2. Введите код “2211” без кавычек.

3. Не перемещая курсор с этого места, нажмите клавиши “ALT+X”.

4. Введенный вами код будет заменен на знак суммы.

Урок: Как в Word вставить градусы Цельсия

Вот так просто можно добавить знак суммы в Ворде. В этом же диалоговом окне вы найдете огромное количество всевозможных символов и специальных знаков, удобно отсортированных по тематическим наборам.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ

Урок математики по теме «Сумма и произведение. Знак умножения». 2-й класс

Цели:

  • Провести исследовательскую работу с целью знакомства с новым арифметическим действием, выяснить приемы краткой рациональной записи действия, отрабатывать умения делать выводы, обобщения, раскрыть конкретный смысл действия умножения, использовать  соответствующую терминологию, учить решать задачи при помощи данных действий, самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель.
  • Создать условия для овладения соответствующим вычислительным навыком; использовать фантазию, воображение при выполнении учебных действий, а также  творческую самостоятельность, соединяя игровую и обучающую форму деятельности, Обеспечить выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
  • Формировать умение объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать.
  • Формировать желание выполнять учебные действия; уверенность в своих возможностях, аккуратность при выполнении заданий, ответственность, любознательность, интерес к предмету.

Планируемые результаты:

  • Иметь представления о действии умножения как сложении одинаковых слагаемых.
  • Знать смысл действий (операций) умножения над целыми неотрицательными числами.
  • Понимать и использовать сочетания слов «по … в каждом…», «… раз по …», составлять числовые выражения. Давать ответы в виде развернутых предложений на вопросы учителя или сказочного персонажа, уметь выполнять инструкции учителя.
  • Уметь в процессе учебной деятельности контактировать с товарищами и вести диалоги. Понимать и выполнять учебные требования, предъявляемые со стороны учителя и мультимедиа-персонажей.

Оборудование: смайлики для осуществления обратной связи с учащимися, конспект, презентация, мультимедийный проектор, учебник, рабочая тетрадь, ТПО, черный фломастер, карточки.

План урока:

I. Оргмомент.
II. Устный счет.
    1. Карточки.
    2. Задание «Бусы».
    3. Группировка чисел.
    4. Геометрический материал.
    5. Итог устного счета.
    6. Проверка индивидуальной работы.
III. Формулировка целей и задач урока.
IV. Создание проблемной ситуации.
V. Изучение нового.
VI. Закрепление.
Игра «Помоги приземлиться летчику».
VII. Физминутка.
VIII. Закрепление.
    1. Работа в тетрадях (с. 92,  3).
    2. Самопроверка.
    3. Игра «Ёжики».
    4. Задача.
    5. Самопроверка.
    6. Веселые задачи (устная работа).
    7. Кроссворд.
IX. Итог.
X. Эмоциональный отклик.

ХОД УРОКА

Слайд 1

I. Оргмомент

Учитель.

Прозвенел, друзья, звонок.
Начинается урок.

Слайд  2

Учитель. Сегодня наш урок проводится в необычном месте. Это кабинет информатики. Информатика близка к математике. Она изучает не только работу вычислительных систем, и в частности компьютера, но и сведения из окружающего мира.
А нам информатика поможет разобраться с очередным секретом математики. И с нами вместе будут проводники из мира информатики:

Слайд  3

Мышка и её друг Смайлик, который, несомненно, вам знаком. Они помогут вам легко и быстро познакомиться с новым материалом.
У вас на столах тоже есть Смайлик, посмотрите на него, но он нам понадобится позже, поэтому отложите пока его в сторону.

II. Устный счет

Учитель. Перед тем, как приступить к изучению новой темы, нужно настроиться на математический лад.

Отдохнуть вы все успели?
А теперь вперед – за дело.
Математика нас ждет.
Начинаем устный счет.

– Пока мы будем выполнять устный счет, некоторые ребята будут работать по карточкам самостоятельно. Они расшифруют тему нашего урока. Посмотрите, у кого на столах есть красные конвертики, поднимите руку. Откройте конверт, достаньте карточку. Вам нужно найти значение выражений, а затем мы вместе откроем шифровку. Задание понятно? Приступайте к выполнению.

1. Карточки.

Ананьев Несмашная Стеблев

40 – 30
7 + 7
36 – 30
23 + 35

С
Е
П
З

44 – 40
70 – 20
8 + 4
14 + 11

А
У
И
Р

66 – 6
9 + 8
60 – 30
16 + 21
5 + 6

Н
М
B
О
Д

2. Задание «Бусы»

Учитель. Первое задание устного счета вам предлагает Мышка, а Смайлик будет ей помогать.

Слайд  4

Из разных цифр собрали бусы
А в тех кружках, где чисел нет,
Поставьте минусы и плюсы,
Чтоб верный получить ответ.

– Дополняем первую ленточку бус.

Дети устно называют пример с вычислением.

– Кто не согласен с ответом, поднимите вверх Смайлика, который лежит у вас на столах.
Дополняем вторую ленточку бус. Дополняем третью ленточку бус. Дополняем четвертую ленточку бус.

(Проверка осуществляется  с помощью презентации)

3. Группировка чисел

Учитель. Мы посчитали, а теперь вспомним, что мы знаем о числах.

Слайд  5

– Раздели числа на группы. Назовите группы.
– Как называются числа первой группы? (Двузначные некруглые).
– Как называются числа второй группы? (Двузначные круглые).
– В каком порядке стоят двузначные некруглые? (Возрастания).
– В каком порядке стоят двузначные круглые? (Убывания).
– Назовите число в котором цифра разряда десятков на единицу больше цифры разряда единиц. (76).
– Что вы можете рассказать об этом числе? (Двузначное, некруглое, сумма цифр 13, единиц – 6, десятков – 7, предшествует число 75, последующее число 77).

4. Геометрический материал

Учитель. Хорошо. А теперь геометрический материал.

Слайд  6

– Разделите все геометрические фигуры на две группы. Фигуры с какими номерами входят в первую группу? Во вторую группу?
– Что общего между фигурами каждой группы? (Есть углы, нет углов).
– Назовите фигуры первой группы.
– Что вы помните о квадрате?
– Что вы помните о прямоугольнике?

5. Итог устного счета

Учитель.Мышка довольна тем, как вы быстро и правильно умеете считать и как много знаете о числах и геометрических фигурах.

Слайд  7

6. Проверка индивидуальной работы

Учитель. А сейчас мы проверим ребят, которые выполняли работу по карточкам.

Дети по очереди называют число и соответствующую букву.

Слайд  8

III. Формулировка темы и целей урока

Учитель. Прочитайте тему нашего урока. Какое слово вам знакомо? С помощью какого арифметического действия находится сумма? Значение какого вы еще не знаете? Сегодня мы узнаем значение этого слова.

Слайд  9

– Посмотрите на доску. Что записано на ней? (Суммы).
– Какую сумму вычислить легче? (5 + 5) Чему равно значение суммы?
– Можем ли мы сразу найти значение второй суммы? (Нет)
– Сегодня на уроке мы познакомимся с новым действием, которое поможет нам легко и быстро находить значение подобных выражений. Это действие умножение и с результатом этого действия – произведением. Мы  познакомимся с математическим знаком, который используется при записи данного действия, попробуем решать задачи с помощью умножения. Будем развивать вычислительные навыки, память. Вы должны быть внимательны и аккуратны.

IV. Создание проблемной ситуации

Учитель. Смайлик приготовил для вас следующее задание.

Слайд  10

– Из следующих сумм назови только ту, в которой все слагаемые одинаковые.

1 + 1 + 1 + 2
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
3 + 2 + 3 + 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5

– Чему равно каждое слагаемое в сумме?
– Сколько раз повторяется слагаемое?
– Можем ли мы данное выражение записать по-другому? (Пока не можем.)

Учитель. Мышка поможет нам в этом.

V. Изучение нового

Учитель. Сумму, состоящую из одинаковых слагаемых можно записать по-другому – в виде ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 • 6

– Для обозначения произведения используется специальный знак в виде точки. Данное действие называется действием умножения.
– Запись  читается так: ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ 5 И 6. (Повторить хором).
– Число 5 в произведении показывает, какое слагаемое повторяется, и записывается на первом месте. Число 6 показывает сколько раз оно повторяется,  записывается на втором месте.

– Откройте учебники на странице 91. Прочитайте правило самостоятельно, постарайтесь запомнить чтобы потом ответить на мои вопросы.
– Как можно записать сумму, состоящую из одинаковых слагаемых?
– Скажите, что показывает число 5 в произведении? На каком месте пишется?
– Что показывает число 6 в произведении? На каком месте пишется?

Учитель. Мышка предлагает проверить правильность своих ответов.

Слайд  11

– Кто ответил так же, поднимите Смайлик.
– Вы были абсолютно правы.

VI. Закрепление

Игра «Помоги приземлиться летчику»

Учитель. Смайлик нашел ответ на свой вопрос и предлагает вам игру.

Слайд  12

– Помоги приземлиться летчику.
– Найди для каждой суммы своё произведение, прочитай правильно.
– Называем устно, проверяем на компьютере (2 + 2 + 2 произведение чисел 2 и 3)
– Я показываю сумму, вы находите произведение.

9 + 9 …
7 + 7 …
12 + 12 …
3 + 3 …

– Молодцы, вы хорошо справились с заданием. Смайлик очень доволен. Кому было сложно, поднимите Смайлика.

VII. Физминутка (Приложение 3)

Учитель. Вы хорошо потрудились, а теперь отдохнём. Встали, вышли из-за парт. Попробуйте повторить движения за утенком.

Слайд 13

VIII. Закрепление

Учитель. Мы продолжаем свою работу.

Слайд  14

– Прочитайте произведения. Что обозначают числа, образующие каждое произведение? (Первое число показывает какое слагаемое использовали, второе – сколько раз). Попробуйте заменить суммой первое произведение.
– Мышка хочет проверить усвоение вами материала и приготовила вам свое задание…

1. Работа в тетрадях

Учитель. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Прочитайте задание мышки. Выполните его в тетрадях. Образец выполнения перед вами. Выполните задание по образцу.

2. Самопроверка

Учитель. А теперь проверим выполнение данной работы.

Слайд  15

– Кто выполнил задание безошибочно, поднимите Смайлик.
– Кто сделал одну ошибку?
– Кто сделал 2 и более ошибок.
– Мышка говорит вам…

Слайд  16

4. Игра «Ёжики»

Учитель. Следующую игру вам предлагает Смайлик.
Нужно подобрать к произведению сумму, вычислить значение сумм. А потом мы сделаем вывод о том, как связано значение суммы и соответствующего произведения. (Произведение чисел 10 и 4 можно заменить суммой 10 + 10 + 10 + 10, значение суммы равно 40)
– Кто не согласен, поднимите Смайлик.

Слайд  17

Вывод: Что вы можете сказать о значении сумм и соответствующих произведений? Значение сумм и соответствующих произведений равны.

5. Задача

Учитель. Мышка любит решать разные задачи. Одну из них она предлагает вам.

Слайд  18

– Прочитайте условие задачи.
– О чем говорится в задаче?
– Что известно?
– Что нужно найти?
– Какое действие будем использовать для нахождения ответа задачи?
– Как сложение заменить умножением?
– Как будет звучать ответ задачи?
– Выполните задание мышки.
– Открыли тетради, записали слово задача. Не записывая условия, пишем только решение и ответ. В решении указываем, как найти ответ задачи при помощи сложения, затем при помощи умножения, а также находим значение выражения. И записываем ответ задачи.

Слайд  19

6. Самопроверка

Учитель. Проверьте запись в тетрадях.

– Кто выполнил задание безошибочно, поднимите Смайлик.

Слайд  20

– Мышка снова довольна вашей работой.

7. Веселые задачи

Учитель. Смайлик и Мышка довольны вашей работой и у них есть для вас веселые задачи. Сейчас мы решим некоторые из них.

Слайды  21-29

– Мы выбираем картинку. Слушаем задачу. Решаем её сложением, а затем выполняем дополнительное задание. Будьте внимательны.

Наша Маша рано встала,
Кукол всех она считала:
2 матрешки на окошке,
2 Аринки на перинке,
2 Танюшки на подушке.
Помоги нашей подружке
Посчитать её игрушки.

– Сколько кукол у Маши? Как нашли? Как сумму заменить произведением?

Сбежала от Федоры посуда:
3 стакана, 3 чашки, 3 блюда.
Кто сосчитать готов,
Сколько всего беглецов?

У этого цветка 4 лепестка.
А сколько лепестков
У двух таких цветков?

Как-то раз в лесу густом,
Под березовым кустом,
Собрались грибы лесные,
Все красавцы удалые,
Ученик, ты не зевай
И грибы скорей считай.
5 груздей и 5 волнушек,
5 лисичек, 5 горькушек.
Кто ответить нам готов,
Сколько же всего грибов?

Насушила грибов
Белочка-хозяйка.
Справа – 6, слева – 6
Все пересчитай-ка.

3 зайчонка в час обеда
Захотели пообедать.
В огороде зайцы сели
И по семь морковок съели.
Кто считать, ребята, ловок
Сколько съедено морковок?

Какой шум и гам в лесу!
То кричат ребята.
И с испуга в 2 дупла
Спрятались бельчата.
Сколько маленьких бельчат
В дуплах проживает?
Там по 9 хвостиков
В темноте мелькают.

8. Кроссворд

– А теперь выполним задание Смайлика. Он стал очень умным, многое узнал и хочет проверить вас. Он предлагает вам решить кроссворд.

Каждый вопрос читает учитель. Дети отвечают. Затем следует ответ – заполнение клеток.

  1. Как можно записать сумму одинаковых слагаемых? (В виде произведения.)
  2. Назовите арифметическое действие, результатом которого является произведение? (Умножение.)
  3. Как выглядит знак, использующийся при записи произведения? (Точка.)
  4. В виде какого арифметического действия можно представить произведение? (Сложения.)

– Посмотрите, в нашем кроссворде появилось еще одно незнакомое слово. Прочитайте его. А вот что обозначает это слово, мы узнаем на следующем уроке математики.

– Подошел к завершению наш урок. Мышка и Смайлик хотят проверить, что вы запомнили на уроке.

Слайд   30

Учитель. А теперь мы проверим, как вы усвоили материал урока. Откройте тетради на печатной основе с. 39 найдите  2. Прочитайте задание, выполните его самостоятельно в рабочих тетрадях. Проверим устно.

– Кто согласен с ответом, поднимите Смайлик.

IX. Итог

– С какими новыми математическими терминами  познакомились на уроке? (Произведение, умножение.)
– Какие слагаемые можно заменить произведением? (Одинаковые.)
– Как называется действие, результатом которого является произведение? (Умножение.)
– Что вы можете сказать о значении произведения? (Равно значению соответствующей суммы.)

X. Эмоциональный отклик

Учитель. А теперь я хочу узнать. Понравился ли вам урок. На столах у вас есть Смайлик, который помогал вам на уроке. Но у него чего-то не хватает. Чего? Возьмите черный фломастер или карандаш и нарисуйте Смайлику ротик.

Слайд  31

– Если урок вам понравился, то улыбающийся. Если нет, то грустный, как на экране.
– Покажите Смайликов. Я вижу, что урок вам понравился. Вы тоже очень хорошо работали.
– Молодцы! Смайлик и Мышка считают, что за урок вы заслужили оценку 5!

Слайд  32

– Урок окончен! Спасибо за урок!

Приложение 1

Приложение 2

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata — d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata — d/dx x^2
7 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata — d/dx x^3
17 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata — d/dx x/2
46 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata — d/dx x^x
52 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata — d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata — d/dx e^2
67 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata — d/dx x^5
73 Trovare la Derivata — d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata — d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata — d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata — d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata — d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata — d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata — d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata — d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata — d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata — d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata — d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x^2

∑ Сумма ряда онлайн

Введите данные для подсчета суммы ряда

Найдем сумму ряда чисел.2

Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Сигма Нотация

Σ  Этот символ (называемый Sigma ) означает «суммировать»

Я люблю Sigma, им весело пользоваться, и он может делать много умных вещей.

Итак, Σ означает суммировать…

Сумма Что?

Сумма того, что после сигмы:

 

п

    поэтому мы суммируем n

Но какие значения

n ?

Значения показаны ниже
и выше Sigma:

 

п

    это говорит n идет от 1 до 4,
что 1 , 2 , 3 и 4

Хорошо, поехали …

Теперь складываем 1,2,3 и 4:

 

n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Вот на одной схеме:

Более мощный

Но Σ может делать и более мощные вещи!

Мы можем возводить в квадрат n каждый раз и суммировать результат:

n 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30

 

Мы можем сложить первые четыре члена последовательности 2n+1 :

(2n+1) = 3 + 5 + 7 + 9 = 24

 

Мы можем использовать другие буквы, здесь мы используем i и суммируем i × (i+1), переходя от 1 к 3 :

i(i+1) = 1×2 + 2×3 + 3×4 = 20

 

И мы можем начинать и заканчивать любой цифрой.Здесь мы переходим от 3 к 5 :

 

В более сложной теме «Частичные суммы» есть еще много примеров.

 

Почему он называется «Сигма»

Sigma — это заглавная буква S на греческом языке. А S означает S мкм.

 

8322, 8323, 600, 601, 1247, 3015, 3016, 3017, 3018, 1248

реальный анализ — Что такое математический символ для суммы чисел

реальный анализ — Что такое математический символ для суммы чисел
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 179 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетите биржу стека
  1. 0
  2. +0
  3. Войти
  4. Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация занимает всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Например, когда $n=5$, какой символ обозначает $5+4+3+2+1$?

Сурб

50.4k1010 золотых знаков5959 серебряных знаков9898 бронзовых знаков

спросил 28 июн. 2015 в 14:46

Элисоналисон

711 серебряных знаков22 бронзовых знака

$\endgroup$ 5 $\begingroup$

Обычно мы используем символ $$\sum$$ (заглавная сигма).5 (6-к) =(6-1)+(6-2)+(6-3)+(6-4)+(6-5)= 5+4+3+2+1$$ См. эту статью в Википедии для получения дополнительной информации.