Содержание

Знак подобия в геометрии — правило и примеры обозначения » ГДЗ онлайн

Автор Беликова Ирина На чтение 2 мин Просмотров 19

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆ABC ~ ∆A1B1C1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком ~ обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

Утверждения:

  • треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

  • отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN ~ ∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

_____________________________________________________________________

Знак подобия в геометрии — правило и примеры обозначения

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆ABC ~ ∆A1B1C1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком ~ обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

Утверждения:

  • треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

  • отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN ~ ∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

_____________________________________________________________________

Предыдущая

ГеометрияКуб — свойства, виды и формулы

Следующая

ГеометрияЭллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Формальный язык геометрии как знаковая система. I. элементарный синтаксис Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

Лингвистика в кругу наук

Г.Е. Крейдлин, Г.Б. Шабат

Формальный язык геометрии

как знаковая система I. Элементарный синтаксис

Статья продолжает серию работ, написанных совместно двумя авторами — лингвистом и математиком. Центральное место в ней занимает обсуждение природы и механизмов понимания научных текстов в их соотношении с бытовыми текстами. В предыдущих работах мы охарактеризовали основные способы контроля понимания научных текстов и описали важнейшие когнитивные операции над отдельными их видами. В этих работах были описаны с разной степенью подробности несколько языков геометрии: естественно-подобный язык, язык чертежей, координатный язык и язык геометрических преобразований. Основное внимание в этих описаниях было уделено лингвистическим особенностям рассматриваемых языков, прежде всего, их лексике, грамматике и прагматике. В настоящей статье речь идёт ещё об одном научном языке — о формальном языке геометрии. А именно, представлен один из его уровней, который мы назвали элементарный синтаксис.

Ключевые слова: знак, формальный язык, геометрия, понимание, когнитивный подход, элементарный синтаксис, расширенный синтаксис, терм, предикат, формула, сочетаемость знаков, упорядоченность знаков.

Введение. Постановка задачи

Наряду с повседневными, или, так сказать, бытовыми, языками и невербальными знаковыми кодами, которыми пользуются их рядовые носители, лингвистика и семиотика интересуются и другими языками и знаковыми кодами, в частности, языками разных наук. Когда в сферу внимания лингвистов и специалистов в области семиотики входит язык какой-то науки, они изучают, прежде всего, его строение и содержание и втайне надеются, что лингвистическое и, шире, семиотическое изучение этого языка может помочь и пользователям повседневного языка. При этом, как и для повседневного

© Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б., 2017

языка, принято выделять два аспекта владения языком науки, а именно понимание, или анализ, письменных и устных текстов на этом языке и построение , или синтез, таких текстов. При лингвистическом анализе научных текстов центральное место среди уровней языка и языковой структуры занимают лексическая и грамматическая системы, а фонетическая и фонологическая системы остаются в стороне, что не удивительно, поскольку языки науки в основном связаны с письменной формой общения.

Настоящая статья является продолжением серии работ, написанных совместно двумя авторами — математиком и лингвистом1. Центральное место в нашей совместной научной деятельности занимают природа и механизмы понимания текстов, главным образом научных, в их соотношении с бытовыми текстами. В предыдущих работах мы охарактеризовали основные способы контроля понимания научных текстов и описали важнейшие когнитивные операции над отдельными их видами, а именно, в этих работах речь шла о когнитивных операциях над формулировками теорем. Было показано, что владение такими операциями ведет к более полному и глубокому пониманию смысла рассматриваемых математических текстов. Концепт понимания смысла текстов и некоторые их структурные характеристики составляют центральное место и в данной работе. Сходные проблемы, связанные с пониманием текстов разных тематик, видов и жанров, рассматривались в целом ряде исследований.2

Как известно, школьная геометрия состоит из двух разделов — планиметрии и стереометрии. Здесь мы остановимся только на планиметрии, которая изучает подмножества плоскости. Плоскость в настоящей работе — это особое понятие, точный смысл которого будет раскрыт при описании семантики нашего языка. В первом приближении мы можем сказать, что плоскость понимается как универсум, то есть «самое большое’1 множество. Это означает, что все геометрические утверждения относятся к элементам плоскости (точкам) или к ее подмножествам (прямым и некоторым другим, более сложным подмножествам).

В предыдущих работах о языках геометрии нами были в общих чертах описаны пять языков геометрии. Это естественно-подобный язык, язык чертежей, формальный язык, координатный язык и язык геометрических преобразований. Основное внимание мы уделили лингвистическим особенностям этих языков, прежде всего, их лексике, грамматике и прагматике. В настоящей статье

речь пойдет в основном об одном из этих языков, а именно, о формальном языке геометрии. Мы опишем здесь один из его уровней, а именно — синтаксический, причем сначала остановимся на простейших (элементарных) единицах синтаксиса и отношениях между ними, а затем (в следующей статье) перейдем к сложным единицам и конструкциям.

Формальный язык геометрии является представителем класса так называемых формальных языков, под которым математики понимают по существу то, что лингвисты понимают под языком, создаваемым порождающей грамматикой. Семантика, или возможные интерпретации порождаемых синтаксических единиц, рассматривается и в математике, и в лингвистике как отдельный уровень описания языка (ср. лингвистическое понятие и термин семантический компонент порождающей грамматики). Исходной частью формального языка геометрии является синтаксис.

Рассматриваемый в настоящей работе язык геометрии является формализованной частью фрагмента привычного для читателя языка школьной планиметрии. Однако в нашем языке, во-первых, нет способов выразить понятие лежать между двумя точками на произвольной прямой, вследствие чего отсутствуют понятия луча, отрезка, полуплоскости и угла, а во-вторых, в нем невыразимы понятия длины и площади. Что же касается еще одного понятия геометрии — окружности, — то оно на нашем языке в принципе выразимо, но довольно сложным образом, и мы его здесь опустим. Несмотря на указанные ограничения, рассматриваемый нами фрагмент языка геометрии достаточно богат. В нем выразимы многие нетривиальные геометрические утверждения, некоторые из которых будут приведены во второй части нашго исследования. Сознательное сокращение числа исходных понятий приводит к тому, что часть привычных геометрических представлений нуждается в корректировке, а именно, все, что можно, надлежит выражать (следуя синтаксическим правилам нашего языка) через, так сказать, синтаксические примитивы, то есть точки и прямые (см. ниже). Основное отношение между точкой и прямой — инцидентность, которое в русском языке выражается фразами точка лежит на прямой, прямая проходит через точку, прямая содержит точку и т.п. Прежде чем начать описание элементарного синтаксиса, обсудим один из вопросов, относящихся к прагматике рассматриваемого языка, а именно вопрос о его адресатах.

В ряде предыдущих наших статей о языках геометрии3 мы говорили о том, что адресаты геометрических текстов с точки зрения владения соответствующими языками могут различаться. Есть люди, которые в равной степени владеют четырьмя языками геометрии,

ориентированными на человека, а не на компьютер. Однако они предпочитают, чтобы в разных ситуациях им сначала излагали геометрический текст на одном языке, а потом на каком-то другом — это кажется им психологически более комфортным. Рассмотрим один пример. Предположим, что мы преподаем геометрию в старших классах математической школы и повторяем теорему Пифагора. Мы можем подойти к ее формулировке, используя каждый из четырех языков. И то, с чего мы начинаем изложение, зависит от очень многих факторов, в частности, от желания акцентировать какие-то аспекты, связанные с теоремой или ее доказательством, от нашего психологического настроя, от обстановки в классе и т.д. Однако при формулировке теоремы Пифагора, чтобы обеспечить полное ее понимание, мы пользуемся по возможности всеми четырьмя языками. Дело в том, что обычно при изложении геометрического текста языки не конкурируют между собой, а взаимно дополняют друг друга4. Иными словами, полное понимание геометрического текста предполагает владение всеми четырьмя языками.5

Что же касается формального языка геометрии, то он, как мы уже говорили, не предназначен для обычных людей6: его основным адресатом является абстрактное логическое устройство, осуществляющее автоматическую обработку информации (в настоящее время воплощением такого устройства является компьютер).

«Необычными полиглотами» представляются те адресаты, которые интересуются языками науки и их соотношением с повседневным языком. Они пытаются овладеть всеми пятью языками и научиться переводить с каждого из них на любой другой — как известно, умение переводить является важнейшим критерием понимания и языков, и тех предметных областей, которую они обслуживают. Что касается формального языка геометрии, то наличие параллельных текстов, один из которых написан на этом языке, а другой — на более «человеческом», является настоятельно необходимым для понимания геометрического текста. В свою очередь, перевод с «обычного» языка геометрии на формальный язык тоже представляется весьма важным, поскольку такой перевод позволяет эксплицировать многие неявные смыслы, содержащиеся в тексте на «обычном! языке и выявлять возможные точки непонимания. Таким образом, один из основных тезисов, который мы выдвигаем в этой (да и во всех наших работах), состоит в следующем. Полное понимание человеком данного геометрического текста обеспечивается умением человека переводить его на все пять языков геометрии и установлением всех возможных соответствий между фрагментами данного текста, написанными на любом из них.

1. Основные виды геометрических текстов

Основные виды рассматриваемых нами геометрических текстов известны со школы; это — определения, аксиомы и теоремы. Все они относятся к жанру повествовательных текстов, нарративов. Кроме того, существуют и другие виды геометрических текстов, многие из которых имеют неутвердительную модальность. Это — задачи, упражнения, проверочные тесты и др. В дальнейшем мы будем рассматривать только основные виды геометрических текстов и их формализацию. Синтаксис формального языка геометрии, о котором пойдет речь ниже, — это синтаксис таких текстов. Описать синтаксис любого языка, будь то естественный или формальный, означает описать, во-первых, множество правильных единиц данного языка, во-вторых, множество синтаксических отношений между данными единицами и, в-третьих, множество синтаксических преобразований одних синтаксических единиц в другие.

Начнем с описания множества синтаксически правильных единиц формального языка геометрии. Среди них выделяются три группы, которые называются термы, предикаты и формулы. Если термы и предикаты являются синтаксически не зависящими друг от друга единицами, то формулы — это такие единицы, для которых термы и предикаты служат строительным материалом.

Описание элементарного синтаксиса формального языка геометрии мы разобьем на две части. В главной части перечисляются синтаксические единицы и конструкции данного языка, некоторые синтаксические отношения и отдельные синтаксические преобразования. В дополнительной части, которую мы назвали «Комментарии», даются содержательные пояснения вводимых синтаксических понятий вместе с указанием полезных аналогий, связывающих формальный язык с естественным (русским) языком. Мы полагаем, что поиск таких аналогий является важным инструментом и критерием понимания текстов не только на формальных, но и на естественных языках. Некоторые из комментариев призваны оградить читателя от ложных аналогий, которые, к сожалению, часто возникают в процессе преподавания и обучения геометрии в школе.

2. Элементарный синтаксис формального

языка геометрии

Ниже представлены синтаксические единицы, конструкции и правила так называемого элементарного синтаксиса; в последующей работе речь пойдет о строении расширенного синтаксиса. Это

разделение аналогично тому, которое используется в курсах преподавания иностранных языков. Формальных языков геометрии существует много; наиболее известные языки в среде математиков были подробно исследованы ранее7. Здесь мы опишем наш собственный вариант формального языка, адаптированный, прежде всего, для лингвистов, которые интересуются языками науки, их соотношением с естественными языками и механизмами понимания текстов, написанных на языках науки. Этим объясняется обилие в данной работе содержательных комментариев, сопровождающих введение формальных конструкций. Наш формальный язык обладает следующим важным свойством: в его описании не используются никакие другие формальные языки.

Понимание дальнейшего текста, в котором излагается синтаксис данного языка, предполагает некоторое знакомство читателя с понятиями и терминами математической логики и теории множеств. Дело в том, что правила построения основных синтаксических единиц существенно используют аппарат математической логики, в основном ее раздела, называемого исчислением предикатов первого порядка. С этим, в частности, связано введение логических связок и кванторов в алфавит нашего формального языка геометрии (см. ниже).

2.1. Алфавит

Как и любое порождающее описание синтаксиса естественного языка, описание синтаксиса формального языка геометрии начинается с задания алфавита. Алфавит формальных языков состоит из букв и специальных значков. В нашем языке есть три вида букв:

— заглавные латинские AB… Z;

— строчные латинские ab … z;

— строчные латинские маркированные a b … Z.

Специальные значки нашего языка делятся на несколько видов:

— насечка |

— два вида скобок ( ) [ ]

— запятая,

— пять значков геометрических операций • • • !

— пять логических символов V 3 -i Л V

Различие между буквами и специальными значками состоит в том, что для каждой из букв существует соответствующее ей одно-буквенное слово. Таким образом, в нашем языке есть три множества однобуквенных слов: (A; B;… ; Z}; {a; b;… ; z} и {a Ь … Z}. Комментарий

В соответствии со сложившимися в математике традициями словоупотребления некоторые значки называются знаками,а некоторые — сим-

волами. Правила употребления всех знаков и букв и правила чтения содержащих их последовательностей будут описаны по отдельности.

(a) Насечка — это особый значок, который может приписываться к любым буквам в качестве нижнего индекса (это и есть правило употребления данного значка). В результате приписывания насечки тоже образуются (неоднобуквенные) последовательности или, иначе, простые термы нашего формального языка геометрии (см. о простых термах подробнее в следующем разделе). Помимо букв, насечка может приписываться к простому терму, в результате чего образуется буква с последовательностью насечек. Количество насечек в такой последовательности читается как номер при букве или при простом терме, например, Ьщ читается как «Ь три» или «Ъ третье».

Один из аналогов насечки в русском языке — это морфема пра, которая, будучи многократно присоединенной к словам бабушка и дедушка, дает слова прабабушка, прадедушка, прапрабабушка, и т.д.

(b) В состав специальных значков нашего языка входят также два вида скобок. Они различаются своими употреблениями (соответствующие правила даны ниже) и не являются синонимичными знаками.

(c) Запятая как значок нашего языка используется в качестве разделителя элементов конечного множества. Заметим, что она нетождественна запятой естественного языка.

(ф В алфавит входят также пять знаков геометрических операций, не являющиеся общепринятыми в математике.

Знак • называется верхний кружок, знак • называется средний кружок, а знак • называется нижний кружок. Четвертый знак ! за отсутствием лучшего названия мы будем называть восклицательным знаком, хотя с естественноязыковым восклицательным знаком он не имеет ничего общего. Компоненты этого знака графически напоминают о точке и прямой. Наконец, пятый знак называется верхняя стрелка.

(е) Знаки V и 3 — это кванторы общностии существования, а -1, Л и V — это знаки отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Замечание.

Импликация определяется через дизъюнкцию и отрицание, а логическая эквивалентность — через пару импликаций. В настоящем тексте импликация и логическая эквивалентность рассматриваться не будут.

2.2. Правила построения термов

Естественно-языковыми аналогами термов являются существительные и синтаксические группы с существительным в качестве главного слова. Такие группы обычно называют именными группами. Естественноязыковые аналоги предикатов — это глаголы, крат-

кие формы прилагательных (предикативны) и глагольные {предикативные) группы, или предикации.

Термы делятся на два вида — простые термы и сложные термы, то есть не простые. Простыми термами мы будем называть, во-первых, однобуквенные слова, соответствующие буквам нашего алфавита, а, во-вторых, слова, состоящие из букв с приписанными к ним одной или несколькими насечками. Примерами простых термов служат термы А; Ь; V. Простые термы называются также переменными.

Определение сложных термов дается в два этапа: сначала определяется понятие терма, а сложным термом называется терм, не являющийся простым. Определение термов основывается на важном понятии сорта терма.

Множество термов нашего языка разбивается на три непересекающихся подмножества — точки, прямые и векторы. В так называемом многосортном исчислении предикатов первого порядка им соответствуют три сорта термов. Простые термы соответствующих сортов обозначаются латинскими буквами (без насечек или с насечками) — заглавными, строчными и строчными маркированными. Поскольку простые термы называют также переменными, сорт простого терма называют сортом переменной.

Комментарий

Если понятия точка и прямая являются неопределяемыми, то понятие вектор, которое у нас введено как неопределяемое, на самом деле может быть определено. Поясним, как это делается, для читателей, знакомых с понятиями плоскость и отображение. Вводятся понятие и термин преобразование плоскости. Под преобразованием плоскости понимается взаимно однозначное отображение плоскости в себя, при котором все прямые отображаются в прямые. Вектором называется такое преобразование плоскости, при котором либо никакая точка плоскости не переходит в себя, либо все точки плоскости переходят в себя (в последнем случае преобразование называется тождественным). Поскольку под вектором мы понимаем некоторую трансформацию, имеет смысл говорить о результате этой трансформации, то есть имеет смысл выражение вектор, примененный к точке. Формула V • Р = Q читается как вектор V, примененный к точке Р, дает точку Q или как вектор V переводит точку Р в точку Q.

Термы определяются рекурсивными правилами, а именно:

— Простые термы всех трех сортов суть термы

— Если Щ и 8 — две различные точки, то (Щ • 8) — прямая

— Если Ь — вектор, а Щ — точка, то (Ь • Щ) — точка

— Если а и Ь — две различные точки, то (а • Ь) — точка

— Если Щ — точка, а Ь — прямая, то (Щ!Ь) — прямая

— Если Щ и 8 — точки, то (Щ 8) — вектор

Две части сложного терма, стоящие внутри круглых скобок и разделенные знаком операции, называются аргументами сложного терма.Ь), (ЭД!Ь) и (ЭД «®). Два из них — точки, два — прямые и один — вектор.

Комментарий

1. В приведенных правилах готическими буквами кодируются последовательности знаков нашего алфавита, которые обозначают точки, прямые и векторы (т.е. сложные термы). К буквам готического алфавита применимо то же соглашение, что и к буквам латинского алфавита (см. о нем в разделе «Правила построения термов»).

2. Во введенных определениях термов неявно учтены три положения о существовании и единственности, которые соответствуют двум аксиомам и одной теореме евклидовой планиметрии.8 Эти аксиомы таковы: Через две точки можно провести прямую, причем единственную и Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную ей, причем единственную. А теорема гласит: Любые две непараллельные прямые пересекаются в единственной точке.

3. Два слова — точка и прямая, — выбранные для обозначения сортов термов, соответствуют интуиции, сложившейся у читателя с ранних лет, а с третьим словом — вектор — современные люди знакомятся в школе. Сами понятия и термины «точка», «прямая» и «вектор» у нас считаются неопределяемыми.

4. Точку как сорт термов необходимо отличать от точки как знака препинания естественного языка и от слова, омонимичного данному слову. Слово точка в другом значении встречается, например, во фразе Сказал, что сделаю, — и точка.

Поскольку простые термы иначе называются переменными (см. выше), а сложные термы состоят из простых, можно говорить, что с каждым сложным термом связано множество переменных, входящих в него. Это множество представляет собой теоретико-множественное объединение переменных, входящих в составляющие сложного терма.

В перечисленных выше правилах построения термов заглавными и строчными готическими буквами обозначаются, соответственно, любые из латинских заглавных и строчных букв и, кроме того, сложные термы всех трех сортов.Ь) — точка». Данное выражение означает «точка пересечения прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой а-два, с прямой Ъ».

Круглые скобки являются маркерами сложных термов. Иными словами, в круглых скобках стоят сложные термы, и наоборот, сложные термы всегда заключаются в круглые скобки. Круглые скобки в синтаксических образованиях нашего языка геометрии не читаются.

Верхняя стрелка соответствует привычному со школы обозначению вектора АВ, где точку А называют началом вектора, а В — концом, и при этом никакого смысла стрелке как знаку не придается. Для нас же верхняя стрелка — это семантически нагруженный знак, обозначающий результат операции, которая сопоставляет паре точек некоторый сдвиг плоскости. Тем не менее мы предлагаем читать запись АВ не только как «А верхняя стрелка В», но и более привычно как «вектор АВ». Особо отметим, что в результате применения правил синтеза сложных термов из простых образуются термы тех же трех сортов, причем сорта результатов применения операций отличаются от сортов операндов.,,!(Р,(А!а„)))

Комментарии

1. Каждая из приведенных групп термов содержит три примера. Первые примеры в каждой группе — это простые термы сорта «точка» (соответственно, сорта «прямая»), а второй и третий примеры — это сложные термы сорта «точка» («прямая»). Сложные термы являются аналогами синтаксически сложных номинативных сочетаний русского языка.

2. Простые термы читаются очевидным образом, а сложные читаются при помощи следующего приема: в структуре сложного терма ищется «главный! знак, и чтения начинается с этого знака. Например, терм ((А!ам) • ш,|) читается как точка пересечения двух прямых, одна из которых — прямая, проходящая через точку А параллельно прямой а-два, а вторая прямая — это прямая ш-два.9

Термы сорта «вектор»

Поскольку для нашего читателя геометрическое понятие вектора, по всей видимости, не столь привычно, как понятия прямой или точки, мы выделяем примеры термов — имен векторов в отдельную группу:

а (РЬК) (2Ь, (Р-, (А!а,,)))

2. 0), которое читается неидиоматично как «Р — верхний кружок — Q», а идиоматично — как «прямая, проходящая через точки Р и 0» или «прямая Р0». Здесь буквы Р и 0 перестановочны.

Средний кружок • ставится между вектором и точкой. Так, запись (V • Р) читается буквально как «V — средний кружок — Р», а, с учетом данного выше определения вектора (см. выше), — как «вектор V, примененный к точке Р». Вектор и точка в записи (V • Р) неперестановочны.

Нижний кружок • ставится между несовпадающими прямыми. Например, обозначение точки (¡.ш) читается неидиоматичным образом как «I — нижний кружок — ш», а идиоматично — как «точка пересечения прямых I и ш». Здесь единицы I и ш перестановочны.

Восклицательный знак ! ставится между точкой и прямой в указанном порядке. Например, запись (Р!1) читается как «Р — восклицательный знак — ¡».

Стрелка » ставится между двумя точками. Запись (Р » Q) читается неидиоматично как «Р — стрелка — 0», или как «вектор из Р в 0», а идиоматично — как просто «вектор Р0».

Скобки называются обычным образом: круглые и квадратные. При чтении они обычно опускаются.

Комментарий (о мнемонике)

Мы старались по возможности обозначать точки, прямые и вектора начальными буквами соответствующих английских слов point, line, vector и близкими к ним.

В нашем алфавите есть три вида основных значков — кружки, восклицательный знак и стрелка. При этом значимым является такой признак кружка, как его расположение. Оно бывает трех видов: верхнее, среднее и нижнее. Запомнить, какой сорт терма образуется с их помощью, можно так: верхний кружок ставится между точками, и этим он напоминает вектор в записи, близкой к традиционной, нижний кружок — по некоторому принципу дополнительности — ставится между двумя прямыми. Остается запомнить лишь расположение среднего кружка — он используется в комбинации знаков, наименее привычной для читателя (вектор, примененный к точке, есть точка).

2.4. Предикаты и формулы

Двумя другими видами синтаксических единиц нашего формального языка геометрии являются предикаты и формулы. Естественно-языковыми аналогами предикатов являются глаголы и краткие формы прилагательных, или предикативы, а аналогами формул — предикаты с заполненными аргументами (местами), или предикации. В частности, предикации могут быть полными фразами. Предикаты можно представлять себе как предикации с незаполненными местами.

Формулы, так же как предикаты и как термы, бывают простыми и сложными (не простыми). Простых предикатов всего два — это равенство и инцидентность, обозначаемые, соответственно, = и £. Им соответствуют два вида простых формул, причем одна из них имеет два варианта. Простые формулы строятся из простых предикатов путем заполнения их мест и имеют один из трех видов: ЭД = ® (равенство точек), I = m (равенство прямых) и ф £ I (инцидентность точки и прямой).

Примеры простых формул

P = Q

(l.m) = p (l.m) £ l (l.m) £ (P• Q)

Правила чтения и употребления знаков = и £ достаточно прихотливы. Сначала о знаке = . Он может читаться равен; равно; равняется или при помощи других родственных слов, и он же может читаться иначе: совпадает; совмещается; является тем же <самым> и под., а также при помощи слов и выражений, синонимичных указанным словам. Теперь о знаке £. Он тоже может читаться двумя

способам: при помощи несимметричного и симметричного предикатов. В первом случае запись Р £ I канонически читается как «точка Р принадлежит прямой ¡» или «точка Р лежит на прямой ¡»; но ее же можно читать «инвертированно», а именно как «прямая ¡ проходит через точку Р».10 Во втором случае запись Р £ I читается с помощью симметричного предиката инцидентность, а именно как «точка Р и прямая ¡ инциденты», или как «прямая ¡ и точка Р инциденты».

Сложные предикаты и сложные формулы строятся из простых применением к ним синтаксических операций двух классов.

Первый класс таких операций носит название булевых11, среди которых мы выделяем три основные: унарную операцию отрицание — и две бинарные операции — дизъюнкция Л и конъюнкция V.12 При применении булевых операций их аргументы (то, к чему они применяются) заключаются в квадратные скобки.

Приведем примеры сложных формул, построенных при помощи булевых операций. Формула — [Р = 0] читается как «неверно, что точки Р и 0 совпадают».13 Формула [р £ ¡] V [—[Р = 0]] читается неидиоматично как «точка Р лежит на прямой ¡, или неверно, что точки Р и 0 совпадают», а идиоматично как «одно из двух: либо точка Р лежит на прямой I , либо неверно, что точки Р и 0 совпадают».

Комментарий

Некоторые сложные формулы, построенные с помощью перечисленных выше операций, допускают полезные сокращения, или редукции.14 Так, формулу — [Р = 0] можно записать в виде Р± 0, которая читается как «точки Р и 0 не совпадают», или, более идиоматично, «точки Р и 0 — разные», а формулу — [Р £ ¡], которая читается как «неверно, что точка Р и прямая I инцидентны» — в виде Р ¡; последняя формула может читаться как «точка Р и прямая ¡ неинцидентны», или, иначе, «точка Р не лежит на прямой ¡» или, наконец, «прямая ¡ не проходит через точку Р».

Второй класс операций, с помощью которых сложные предикаты и сложные формулы строятся из простых, носят название кван-торных. В математической логике применение этих операций называют навешиванием кванторов, а в лингвистике соответствующие операции называют квантификацией. Напомним, что в алфавите нашего формального языка геометрии есть два знака V и 3 , обозначающих, соответственно, кванторы общности и существования. Для определения операций навешивания кванторов, для установления равносильности кванторных выражений, а также для определения одного вида редукции формул, нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия. Первое из них — это понятие множества переменных, входящих в формулу. Оно опирается на введенное ранее понятие множества переменных, входящих в терм.

Комментарий

Хотя в формальном языке геометрии простые термы суть переменные, в нем обычно не принято использовать понятия «терм, входящий в данную формулу» и «множество термов, входящих в данную формулу».

Множество переменных, входящих в простую формулу, определяется как объединение множеств аргументов всех термов, входящих в нее. Например, множество переменных, входящих в формулу Р £ I, — это {Р; 1} а множество переменных, входящих в формулу Р = Р — это {Р}.

Множество переменных, входящих в сложную формулу, определяется отдельно для унарной операции отрицания и отдельно для бинарных операций дизъюнкции и конъюнкции. Операция отрицания не меняет множества переменных формулы, к которой она применяется, а при использовании бинарных операций множества переменных, входящих в аргументы операций, объединяются. Переменные, входящие в данную формулу, делятся на свободные и связанные. Соответствующие определения даются рекурсивно. Приведем их. Все переменные, входящие в простые формулы или в сложные формулы, получаемые из простых булевыми операциями, называются входящими в них свободно, или свободными в них

Операции навешивания каждого из кванторов могут применяться к паре < Т, £ > , состоящей из формулы Т и свободной переменной £ в ней; здесь £ обозначает переменную любого из трех рассматриваемых нами сортов, то есть точек, прямых и векторов.

В результате применения операций навешивания кванторов возникают формулы V£[Т] и 3£[Т].

Комментарий

Квадратные скобки служат здесь для формирования так называемых областей действия кванторов и отделения их от кванторных приставок, то есть последовательности «квантор-переменная». Таким образом, квадратные скобки у нас используются в двух случаях — как маркеры операндов булевых операций и как маркеры областей действия кванторов.

2.5. Примеры формул с кванторами

VP[VQ[[P = О] V [[Р £ I] Л [Р £ I]]]] — «каковы бы ни были две точки, либо они совпадают, либо через них проходит некоторая прямая» (это часть первого постулата Евклида без требования единственности прямой, проходящей через две точки).

ЗРНР £ I]] — «относительно данной прямой верно, что существует точка вне ее» (в этой формуле квантором связана переменная Р, а переменная I — свободная).

На этом описание основных единиц элементарного синтаксиса нашего формального языка геометрии закончено. Перейдем теперь к описанию синтаксических отношений на множестве формул построенного языка.

3. Синтаксические отношения

Не претендуя на полное описание синтаксических отношений, дадим определения двух важнейших. Они играют особую роль при сопоставлении формального языка с естественным и при установлении соответствий между их фрагментами.

3.1. Отношение «быть подформулой»

Формула В называется подформулой формулы Л, если Л построена из В и, возможно, других формул, по одному из перечисленных выше правил построения формул. Например, формула ЗР[Р £ I] содержит подформулу Р £ I, формула -1 [(и • А) = В] содержит подформулу (и • А) = В , а формула [Р £ I] Л [Р £ ш] содержит две подформулы: [Р £ I] и [Р £ ш].

Комментарий

В естественно-подобном языке геометрии подформулам соответствуют такие фрагменты предложений, как причастные и деепричастные обороты, простые предложения (в составе сложного) и вставные предложения и конструкции, как во фразе «Он сказал: «Вернусь поздно» и ушел».

3.2. Отношение синтаксической эквивалентности

Не приводя определения отношения синтаксической эквива-лентности15, опишем идеи, положенные в его основу. Определение строится в несколько шагов. На первом шаге каждая из двух формул, синтаксическая эквивалентность которых устанавливается, приводится к так называемой предваренной нормальной форме, то есть такой, у которой все кванторы предшествуют всем предикатам. Это всегда возможно16. Далее у двух формул сравниваются кван-торные приставки. Подпишем их одну под другой (переменная под переменной, скобка под скобкой). Если хотя бы на одном из соответствующих мест кванторы не совпадают, то формулы синтаксически неэквивалентны. Пусть теперь все кванторы на соответствующих местах совпали. В этом случае существует процедура переименования переменных, превращающая кванторные приставки двух формул в тождественные. Эта же процедура применяется к оставшейся (бескванторной) части формулы. заключение» и др.), краткость, понятность, легкость перевода на другие языки и т.п. Некоторые из этих операций носят не формализованный характер, между тем, они широко используются в разного рода лингвистических исследованиях17.

Другой класс операций — это преобразование линейной записи формул в соответствующие им синтаксические деревья.

Третий класс операций состоит в расширении лексики исходного языка за счет замены его фрагментов новыми знаками. Такие операции мы подробно рассмотрим в следующей работе. В ней, также посвященной синтаксису формального языка геометрии, мы приведем примеры более сложных синтаксических единиц с целью показать их разнообразие и возможность выразить с их помощью нетривиальные геометрические смыслы.

Заключение

Несмотря на кажущуюся сложность или, по крайней мере, непривычность нашего изложения для лингвиста элементарного синтаксиса формального языка геометрии, оно имеет параллели в целом ряде формальных лингвистических теорий. К ним относятся такие инструменты описания, как порождающие грамматики и семантики в духе грамматик Н. Хомского и его последователей18. Это также интерпретативная семантика Катца и Фодора19, порождающая семантика Лакоффа20 и др. К упомянутым исследованиям примыкают также работы Е.В. Падучевой21 и ее сотрудников, А. Вежбицкой22 и ее коллег, и еще многие другие работы.

Отличительной особенностью описанного нами фрагмента языка геометрии является предельная минимальность набора исходных синтаксических понятий и выражающих их слов (точка, прямая; равенство, инцидентность). Благодаря принятой в геометрии еще со времен Евклида установке на выбор как можно меньшего числа неопределяемых понятий все многообразие пространственных категорий и явлений описывается крайне экономными средствами. Вместе с тем такая минимальность на практике приводит к большей сложности восприятия синтаксических единиц и их анализа. Лингвистам это хорошо известно, например, из работ А. Вежбицкой и ее учеников и последователей. А именно, осознанное стремление к минимизации числа семантических атомов (примитивов) приводит к весьма сложным по своей синтаксической структуре текстам толкований.

Альтернативный подход к построению элементарного синтаксиса языка геометрии мог бы быть связан с увеличением числа исходных понятий. В качестве таковых к перечисленным выше понятиям можно было бы добавить количественные понятия и термины расстояние, площадь, величина угла и качественные концепты и термины отрезок, луч, окружность и др. Помимо имен, в качестве основных могли бы быть введены предикаты равенства = и неравенства <, аргументами которых являются не геометрические объекты, а числа.

Именно такой подход к изложению оснований геометрии был принят со времен Евклида. Он позволяет соотнести синтаксические единицы языка геометрии с синтаксическими конструкциями естественного языка. Обнаружение синтаксического параллелизма между конструкциями этих языков, несомненно, облегчает понимание текстов на языке геометрии и их перевод на естественно-подобный язык.

Поскольку основным адресатом формального языка геометрии является, как мы говорили, не человек, а компьютер (или подобное ему устройство), для него такой трудности не существует. В отличие от человека, компьютер легко обращается с длинными последовательностями знаков и легко разбивает их на синтаксически правильные подпоследовательности. Это разбиение является ступенью на пути к полному грамматическому разбору синтаксических сочетаний и фраз анализируемого языка. Математика нашла компромисс между установкой на минимальность множества исходных понятий и сложностью синтаксических правил построения геометрических текстов. Некоторое расширение этого множества и введение содержательных производных понятий позволяет упростить изложение

языка геометрии и его понимание человеком. Во второй части этой работы, посвященной расширенному синтаксису формального языка геометрии, мы опишем некоторые из таких производных понятий, на основе которых целый ряд содержательных геометрических результатов излагается и проще, и понятнее.

Примечания

1 Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Теорема как вид текста I. Понятность // Вестник РГГУ. Серия Языкознание/МЛЖ. 2007, № 8. С. 102-112.; Крейдлин Г.Е, Шабат Г.Б. Теорема как вид текста II. Когнитивные операции над формулировками теорем // Вестник РГГУ. Серия Языкознание/МЛЖ. 2011, № 11. С. 241-270; Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Пространство в естественных языках и языках геометрии // Вестник РГГУ. Серия «История. Филология. Культурология. Востоковедение». 2015. №1. С. 116-130. (Московский лингвистический журнал, Том 17 (1)). Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Естественный язык и язык геометрических чертежей: точки соприкосновения // Znaki czy nie znaki? / Red naukowa J. Piatkowska, G. Zeldowicz. Warszawa, 2016. S. 197-221.

2 Гладкий А.В., Крейдлин Г.Е. Математика в гуманитарной школе // Математика в школе. 1991. № 6. С. 6-9; ЗвонкинА.К. Абстракции с языковой поддержкой // Язык и структура знания. М., 1990. С. 86-95; Корельская Т.Д., Падучева Е.В. Обратная теорема (алгоритмические и эвристические процессы мышления). М., 1978; Крейдлин Г.Е., Шмелев А.Д. Языковая деятельность и решение задач // Математика в школе, 1989, № 3. C. 39-45; Крейдлин Г.Е., Шмелев А.Д. Математика помогает лингвистике. М.: Просвещение, 1994; Манин Ю.И. Математика как метафора. М., 2008.

3 См. упомянутые ранее статьи авторов «Теорема как вид текста» I, II.

4 Там же.

5 Этот тезис мы сознательно формулируем в сильной форме. Возможные его ослабления связаны не только со структурой и содержанием самого текста, но и с различными экстралингвистическими, в частности, социальными, факторами.

6 Это обстоятельство необходимо учитывать при преподавании тех разделов математики, которые связаны с формализацией рассуждений. Особенно это относится к преподавателям, ведущим занятия в гуманитарной аудитории.

7 Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948; Tarski A. What is elementary geometry? // The axiomatic method. With special reference to geometry and physics : Proceedings of an International Symposium / Eds. L. Henkin, P Suppes., A. Tarski. Amsterdam, 1959. P. 16-29 (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 27).

8 Под евклидовой планиметрией здесь подразумевается раздел геометрии, построенный на аксиомах, сформулированных Евклидом. Они формулируются в школьной геометрии и дают представление об аксиоматическом построении научной теории.

9 Поскольку формулы языка геометрии человек, вообще говоря, читать не должен, способов прочтения более длинных термов мы не приводим.

ii

Вообще говоря, фразы «точка P лежит на прямой l» и «прямая l проходит через точку P> различаются актуальным членением. В первой фразе именная группа «точка P> является темой предложения, а группа «прямая l» — ремой, а во второй фразе — наоборот (вторую фразу иногда записывают в виде «l 3 P>, но мы не ввели значок 3 в наш алфавит). Наш язык не обладает формальными средствами для выражения актуального членения. Операции названы так в честь Джорджа Буля (1815-1864).

12 Знаки -1, Л, V называют также логическими связками.

13 Напомним, что, в соответствии с введенным ранее соглашением, заглавными латинскими буквами обозначаются точки, а строчными — прямые.

14 Подробнее о редукциях разных видов будет говориться во второй части данной работы.

15 См. Падучева Е.В. О семантике синтаксиса. Материалы к трансформационной грамматике русского языка. М., 1974.

16 См. Крупский В.Н., Плиско В.Е. Математическая логика и теория алгоритмов. М., 2013.

Корельская Т.Д., Падучева Е.В. Указ. соч. Тестелец Я.Г. Введение в общий синтаксис. М., 2001.

Katz J J., Fodor J.A. The structure of a semantic theory // Language. 1963. №39(2). P. 170-210.

ЛакоффДж. Когнитивная семантика // Язык и интеллект. М., 1996. Падучева Е.В. Указ. соч.

Вежбицкая А. Язык. Культура. Познание. М., 1996.

Психология формы

Не так давно учёными было доказано, что различные формы и цвета вызывают у человека определённые эмоции. Обыкновенные геометрические формы, как овал и квадрат, намного быстрее воспринимаются и лучше запоминаются, чем сложные, неправильные. Формы линий влияют на скорость и качество восприятия информации. Горизонтальные и вертикальные линии чаще всего вызывают ассоциации со спокойствием и ясностью, а изогнутые — изяществом и непринуждённостью. Нужно отметить, что часто при разработке логотипа или знака используются несколько геометрических форм. Рассмотрим значения некоторых из них.

Круг


Круг

Круг — одна из самых распространённых геометрических форм. У круга нет ни начала, ни конца, ни ориентировки, ни направления, поэтому он ассоциируется и с бесконечностью и в тоже время с завершённостью. В традиционной астрономии круг с обозначенным центром символизирует солнечную систему, где центр — солнце, а в магии он помогает оградиться от злых духов.

Эллипс

Эллипс

Своими сторонами эллипс символизирует инволюцию и эволюцию. Немного наклонённый эллипс ассоциируется с динамикой, напором, стремлением вперёд и инновационностью. Данная геометрическая форма довольно часто используется дизайнерами.

Квадрат

Квадрат

Квадрат — символ упорядочивания и комбинации четырёх различных элементов, например — времён года. Кроме того квадрат символизирует простоту, но в тоже время прочность и стабильность. Данная форма довольно часто используется в логотипах больших и серьёзных организаций.

Треугольник

Треугольник

Треугольник — одна из наиболее универсальных и распространённых форм. Треугольник, обращенный вершиной вверх, называется солнечным и символизирует жизнь, огонь, пламя и жару. Равносторонний треугольник — мужской знак, солнечный символ, выражающий стремление, гармонию и власть. Перевернутый треугольник — женский и лунный символы, выражает воду, плодовитость и божественную милость. Кроме того, пересекающиеся треугольники образуют так называемую гексаграмму и ассоциируются с синтезом противоположностей.

Прямоугольник

Прямоугольник

Прямоугольник всегда был и остаётся излюбленной геометрической формой человека. Это форма символизирует надёжность и рациональность. Прямоугольник часто встречается в качестве составной части многих логотипов, что лишний раз подчёркивает его универсальность.

Гексагон

Гексагон

Гексагон — это правильный шестиугольник. Данная геометрическая форма часто встречается в природе: пчелиные соты, строение некоторых сложных молекул и т.д. Кроме того, гексаграмма — символ иудаизма. С точки зрения психологии правильный шестиугольник ассоциируется с красотой, гармонией, изобилием и свободой.

Атрибуты векторных данных

Цель:

Этот раздел рассказывает о том, что такое атрибутивные данные, как они связаны с векторными объектами и как их использовать для настройки отображения данных.

Основные понятия:

Атрибут, база данных, поля, данные, вектор, символика

Обзор

Если все линии на карте будут иметь один и тот же цвет, одинаковую ширину и подпись, будет очень трудно понять что к чему. Такая карта будет малоинформативной. Взгляните на рисунок figure_map_attributes.

Figure Attributes on map:

Карта становится пригодной к использованию, когда различные типы объектов можно отличить друг от друга по цвету и внешнему виду. Вы сможете различить реки, дороги и горизонтали на карте слева? А вот сделать это при помощи карты, показанной справа, намного проще.

В этом разделе мы узнаем как атрибутивные данные помогают создавать интересные и информативные карты. В предыдущих разделах, посвященных векторным данным, мы кратко объясняли, что атрибутивные данные используются для описания векторных объектов. Посмотрите на изображенные на рисунке figure_house дома.

Figure House 1:

Каждый объект имеет характеристики. Это могут быть как видимые вещи, так и информация, которую мы просто знаем (например, год постройки).

Геометрия этих объектов полигональная (соответствует плану дома), а в качестве атрибутов мы используем цвет крыши, наличие балкона и год постройки. Обратите внимание, что в качестве атрибутов не обязательно выступают видимые признаки — также можно использовать любую известную информацию об объекте, например год постройки дома. В ГИС-приложении мы можем отобразить дома в виде полигонального слоя, а их атрибуты в виде таблицы атрибутов (см. figure_house_gis).

Figure House 2:

Слой зданий. Здания имеют атрибуты, описывающие цвет крыши и другие свойства. Таблица атрибутов (нижнее изображение) показывает атрибуты домов, видимых на карте. Если объект выделен в таблице атрибутов, он будет подсвечен желтым цветом на карте.

Тот факт, что объекты в ГИС-приложении наряду с геометрией имеют и атрибуты, открывает широкие возможности. Например, мы может использовать значения атрибутов, чтобы задать цвет и стиль отрисовки объектов (см. рисунок figure_style_by_attribute). Процесс настройки цветов и стилей отображения часто называется настройкой символики.

Figure Feature Style 1:

ГИС-приложение может отображать объекты по-разному, в зависимости от их атрибутов. Слева показаны полигоны зданий, раскрашеные в тот же цвет, который указан в атрибуте «цвет крыши». Справа показаны здания, окрашенные по наличию или отсутствию балкона.

Атрибутивные данные также могут использоваться при создании подписей. Большинство ГИС-приложений позволяют указать атрибут, который будет использоваться для подписывания каждого объекта.

Если вы когда-либо искали на карте определенное место или объект, вы должны знать как много времени может уходить на это. Наличие атрибутивных данных может сделать поиск заданного объекта быстрым и легким. На рисунке figure_search_by_attribute показан процесс поиска по атрибутам в ГИС.

Figure Feature Search 1:

ГИС-приложения также позволяют выполнять поиск объектов по атрибутам. Здесь показаны здания с черной крышей. Результат поиска отображается на карте желтым цветом, а в таблице атрибутов — бирюзовым.

B наконец, атрибутивные даные могут быть весьма полезны при выполнении пространственного анализа. Пространственный анализ сочетает пространственную информацию, хранящуюся в геометрии объекта, с его атрибутами. Это позволяет нам изучать объекты и их взаимоотношения. Существует множество разновидностей пространственного анализа, например, вы можете использовать ГИС для того, чтобы узнать сколько домов с красными крышами находится в заданном районе. Если у вас есть слой деревьев, вы можете использовать ГИС для выяснения того, какие виды будут затронуты если будет разрабатываться определенных участок земель. Мы можем использовать атрибуты, содержащие пробы воды по течению реки, чтобы узнать где происходит загрязнение. Возможности бесконечны! Более подробно пространственный анализ рассмотрен в следующих разделах.

Прежде чем мы двинемся дальше, подведем итоги.

Объекты это предметы реального мира, такие как дороги, границы участков, подстанции и т.д. Объект имеет геометрию (которая может быть точкой, линией или полигоном) и атрибуты (которые описывают объект). Это показано на рисунке figure_features_at_glance.

Figure Feature Summary 1:

Векторные объекты.

Подробнее об атрибутах

Атрибуты векторных объектов хранятся в таблице. Каждый столбец таблицы назывется полем. Каждая строка — записью. Таблица table_house_attributes является простейшим примером таблицы атрибутов в ГИС. Каждая запись таблицы атрибутов в ГИС соответсвует одному объекту. Обычно информация из таблицы атрибутов хранится в некоторой базе данных. ГИС-приложения связывают атрибутивные записи с геометрией объекта, так что вы можете найти запись в таблице выделив объект на карте и наоборот, найти объект на карте выбрав запись в таблице.

Таблица атрибутов

Поле 1 : YearBuilt

Поле 2: RoofColour

Поле 3: Balcony

запись 1

1998

Красный

Да

Запись 2

2000

Чёрный

Нет

Запись 3

2001

серебристый

Да

Table House Attributes 1: Таблица атрибутов имеет поля (столбцы) и записи (в строках).

Каждое поле таблицы атрибутов имеет определенный тип данных — текст, число или дата. Выбор типа данных для атрибута требует вдумчивого планирования. В нашем примере с домами, мы выбрали в качестве атрибутов цвет крыши, наличие балкона и год постройки. Мы также можем выбрать и другие параметры зданий такие как:

  • количество этажей

  • количество комнат

  • число жильцов

  • тип здания (коттедж, кирпичный дом, многоэтажный и т.д.)

  • год постройки

  • жилая площадь

  • и другие…

Как имея такой широкий выбор определить какие именно атрибуты должны быть у объекта? Обычно всё зависит от того, что вы собираетесь делать с данными. Если вы хотите создать карту на которой дома раскрашены в зависимости от возраста, стоит озадобиться наличием атрибута «Год постройки». Если вы абсолютно уверены, что никогда не будете нуждаться в подобной карте — лучше не хранить эту информацию. Сбор и хранение избыточной информации плохая идея, т.к. это требует дополнительных материальных и временных ресурсов. Очень часто мы получаем векторные данные от организаций, друзей или правительства. Как правило, в таких случаях невозможно запросить определенные атрибуты и приходится работать с тем, что есть.

Обычный знак

Если объекты отображаются без использования значений атрибутивной таблицы, они могут быть отрисованы только обычным знаком. Например, для точечных объектов можно задать цвет и маркер (окружность, квадрат, звезда и т.д.) и это всё. Вы не можете заставить ГИС отрисовывать объекты, используя значения одного из атрибутов. Чтобы сделать это, необходимо использовать градуированный, непрерывный или уникальный знак. Все они описаны ниже.

ГИС-приложение позволяет настроить внешний вид объектов слоя при помощи диалога, похожего на рисунок figure_single_symbol_1. В этом диалоге можно указать используемые цвета и стили знаков. В зависимости от типа геометрии слоя, доступны разные настройки. Так, для точечных слоёв можно задать тип маркера. Для линейных и полигональных слоёв возможность настройки маркера отсутствует, но можно выбрать тип линии и цвет, например оранжевый пунктир для гравийных дорог, сплошная оранжевая для второстепенных дорог и т.д. (см. рисунок figure_single_symbol_2). Для полигональных слоёв кроме того можно указать тип заливки и её цвет.

Figure Single Symbol 1:

При использовании обычного знака все объекты отображаются одинаково, внешний вид не зависит от атрибутов. Здесь показан диалог для точечных объектов.

Figure Single Symbol 2:

Настройка обычного знака для линейных и полигональных объектов несколько отличается.

Градуированный знак

Иногда векторные объекты представляют вещи с изменяющимися цифровыми значениями. Хорошим примером могут служить горизонтали. Каждая горизонталь имеет атрибут, назывемый «высота», который содержит информацию о высоте над уровнем моря. Ранее в этом разделе мы показывали горизонтали, отрисованные одним цветом. Раскраска горизонталей в разные цвета поможет нам интерпретировать их значения. Например, мы можем отрисовать низинные области одним цветом, среднегорье — другим, а высокогорные области — третьим.

Figure Graduated Symbol 1:

Значение высоты может использоваться для разделения горизонталей на три класса. Горизонтали, находящиеся в диапазоне от 980 м до 1120 м будут показаны коричневым, находящиеся в диапазоне от 1120 м до 1240 м — зеленым, а находящиеся в диапазоне от 1240 м до 1500 м — фиолетовым.

Figure Graduated Symbol 2:

Так выглядит карта отрисованная градуированным знаком.

В QGIS отрисовка в зависимости от дискретных групп значений атрибута называется градуированным знаком. Процесс настройки показан на рисунках figure_graduated_symbol_1 и figure_graduated_symbol_2. Градуированный знак наиболее полезен когда необходимо показать различие между объектами с различными диапазонами значений в атрибутах. ГИС-приложение анализирует атрибуты (например, высоту) и, основываясь на заданном количестве классов, группирует значения. Процесс можно проиллюстрировать при помощи таблицы table_graduated_1.

Значение атрибута

Класс и цвет

1

Класс 1

2

Класс 1

3

Класс 1

4

Класс 2

5

Класс 2

6

Класс 2

7

Класс 3

8

Класс 3

9

Класс 3

Table Graduaded 1: Градуированный знак разбивает значения атрибута на заданное количество классов. Каждый класс отображается своим цветом.

Непрерывный знак

В предыдущем параграфе о градуированном знаке мы видели, что объекты можно отрисовать с разбивкой на группы классов. Иногда бывает необходимо отобразить объекты в виде градиента от одного цвета к другому. ГИС-приложение будет использовать числовой атрибут объекта (например, высоту или уровень загрязнения), чтобы выбрать цвет. Таблица table_continuous_1 показывает как используются значения атрибутов для создания непрерывного диапазона цветов.

Значение атрибута

Цвет (классы или группировка отсутствуют)

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  

Table Continuous 1: Непрерывный знак использет начальный цвет (например, светло-оранжевый, как показано здесь) и конечный цвет (например, темно-коричневый), а затем создаёт серию промежуточных цветов между ними.

Используя тот же пример с горизонталями, посмотрим как будет выглядеть карта, отрисованная непрерывным знаком. Процесс начинается с настройки свойств слоя при помощи диалога, показанного на рисунке figure_continuos_symbol_1.

Figure Continuous Symbol 1:

Настройка непрерывного знака. Высота горизонтали используется для определения цвета. Цвета задаются для минимального и максимального значения. Затем ГИС-приложение создаёт градиент из этих цветов и задаёт цвет объекта в зависимости от значения атрибута (в данном случае высоты).

После указания цветов, соответствующим минимальному и максимальному значениям, цвет объекта будет выбран в зависимости от того в каком месте диапазона между максимальным и минимальным значением находится значение атрибута. Например, если горизонтали начинаются с отметки 1000 м и заканчиваются на отметке 1400 м, диапазон значений будет простираться от 1000 до 1400. Если для минимального значения выбран оранжевый цвет, а для максимального — черный, горизонтали со значениями близкими к 1400 м будут отображаться цветом близким к черному. Аналогично, горизонтали со значениями близкими к 1000 м будут отображаться цветом близким к оранжевому (см. рисунок figure_continuous_symbol_2).

Figure Graduated Symbol 2:

Карта, отрисованная непрерывным знаком

Уникальный знак

Иногда атрибуты объектов являются не числовыми, а строковыми. В компьютерном понимании «строка» это последовательность букв, цифр и других видимых символов. Строковые атрибуты часто используются для классификации объектов по имени. Мы можем заставить ГИС-приложение отображать каждое уникальное значение своим цветом и знаком. Дороги могут иметь разный тип (например, «улица», «второстепенная дорога», «главная дорога» и т.д.), каждый из которых будет отображаться на карте своим цветом и стилем. В качестве иллюстрации посмотрите на таблицу table_unique_1.

Значение атрибута

Цвет и символ

Автомагистраль

 

Главная дорога

 

Второстпенная дорога

 

Пешеходная дорога

 

Table Unique 1: Уникальные значения атрибута объекта (например, дорог) имеют свои собственные символы.

ГИС-приложения позволяют использовать уникальный знак для слоя. ГИС просканирует все значения атрибута и создаст список уникальных строк или чисел. Затем каждому уникальному значению можно назначить цвет и символ, как показано на рисунке figure_unique_symbol_1.

Figure Unique Symbol 1:

Настройка отрисовки дорог уникальным знаком в зависимости от типа дороги.

Когда ГИС выполняет визуализацию слоя, она смотрит на значение атрибута каждого объекта. В зависимости от значения атрибута, дорога будут отрисованы соответствующим цветом и символом (а полигональные объекты ещё и заливкой), как показано на рисунке figure_unique_symbol_2.

Figure Unique Symbol 2:

Слой дорог, отрисованный уникальным знаком (классификация по типу дороги).

Необходимо помнить

Выбор необходимых атрибутов и стиля отображения требует тщательного обдумывания. Перед тем как собирать какие-либо пространственные данные, необходимо убедиться, что вы знаете какие атрибуты нужны и как данные будут отображаться. Если вы ошибетесь, будет довольно трудно вернуться назад и всё переделать. Помните, что цель сбора атрибутивных данных — помочь в анализе и интерпретации пространственной информации. Как вы это сделаете, зависит от вопросов на которые нужно ответить. Символика это визуальный язык, помогающий людям понять атрибуты объектов, глядя на используемые цвета и символы. Поэтому необходимо хорошо подумать как именно отобразить объекты, чтобы карту можно было легко понять.

Что мы узнали?

Подведём итоги:

  • Векторные объекты имеют атрибуты

  • Атрибуты описывают свойства объекта

  • Атрибуты хранятся в таблице

  • Строки таблицы называются записями

  • В векторном слое одна запись соответстсвует одному объекту

  • Столбцы таблицы называются полями

  • Поля описывают свойства объекта, например высоту, цвет крыши и т.д.

  • Поля могут содержать числовые, строковые (любой текст) данные и даты

  • Атрибуты объекта могут использоваться для настройки его *символики

  • Градуированный знак группирует данные в дискретные классы

  • Непрерывный знак назначает цвет объекту из диапазона цветов

  • Уникальный знак сопоставляет каждому уникальному значению атрибута свой знак (цвет и символ)

  • Если атрибуты слоя не используются при его отрисовке, он отображается обычным знаком

Попробуйте сами!

Вот некоторые идеи для заданий:

  • Используя таблицу, созданную в предыдущем разделе, добавьте новый столбец с названием знака, который будет использоваться для каждого объекта. Попросите учащихся решить какой знак они будет использовать (в качестве примера см. таблицу table_example_symbols_1).

  • Попробуйте определить какой знак будет использоваться для следующих типов объектов:

    • точки, показывающие значение pH грунта, собранные вокруг школы

    • линии, отображающие сеть дорог города

    • полигоны домов с атрибутом, указывающим на материал (кирпич, дерево или «другой»)

Объект реального мира

Тип геометрии

Знак

Флагшток

Точка

Обычный знак

Футбольное поле

Полигон

Обычный знак

Тропинки вокруг школы

Полилиния

Попросите учащихся подсчитать количество учеников на каждой тропинке перед началом занятий, а замет использовать градуированный знак чтобы показать популярность каждой дорожки

Места расположения кранов

Точка

Обычный знак

Кабинеты

Полигон

Уникальные значения в зависимости от возраста учащихся в классе

Забор

Полилиния

Попросите учащихся оценить состояние забора вокруг школы, разбив его на участки и оценив каждый участок по десятибальной шкале. Используйте градуированный знак чтобы отобразить состоение забора.

Кабинеты

Полигон

Подсчитайте количестве учеников в каждом кабинете и используйте непрерывный знак со шкалой от красного к синему.

Table Example Symbols 1: Пример таблицы с описанием типов объектов и их символикой.

Стоит учесть

Если у вас нет компьютера, можно использовать прозрачную пленку и фрагмент карты масштаба 1:500000, чтобы показать различные типы символов. Например, совместите пленку и карту, и используя разноцветные фломастеры обведите красным все горизонтали ниже 900 м (или другой величины), а зеленым все горизонтали выше или равные 900м. Подумайте как показать другие типы знаков используя такую технику.

Дополнительная литература

Сайт: http://en.wikipedia.org/wiki/Cartography#Map_symbology

Подробную информацию о работе с атрибутами векторных данных в QGIS можно найти в Руководстве пользователя QGIS.

Что дальше?

Следующий раздел будет посвящен оцифровке. Мы на практике применим полученные знания о векторных объектах и их атрибутах, создавая новые даные.

фото, эскизы, смысл, история, примеры популярных рисунков в современной татуировке

Тут вы сможете узнать значение геометрических тату, познакомитесь с историей и смыслом рисунков, сможете познакомиться с примерами популярных вариантов. Для тех, кто подбирает основу для собственной татуировки, рекомендуем после ознакомления с информацией, обратиться к разделам каталога:

Значение геометрических тату — варианты рисунков на фото

Интересное про значение геометрических тату

Геометрические татуировки – искусство с математической точностью

Геометрический стиль – это относительно новое и прогрессирующее течение в искусстве татуировки. Несведущим людям может показаться, что в математических чертежах нет ничего привлекательного: ни красоты, не фантазии. Но глядя на эскизы, выполненные мастерами в данном стиле, невольно удивляешься игре линий, полёту вымысла и точности воспроизведения.

Основные сюжеты данного стиля

Такие татуировки очень эффектны, и, как правило, не остаются без внимания. Основу сюжетной линии определяют обычные геометрические фигуры:

— конусы

— кубы

— многоугольники

— шары

— ломаные и прямые линии

Излюбленным сюжетом является изображение меандра – линейного орнамента

Но это самые простейшие варианты. Чаще мастера тату – салонов «превращают» любой рисунок, будь то цветок, или даже женская фигура, в геометрический эскиз на теле. Высокопрофессиональный художник сумеет нанести в этом стиле от образа насекомого, до плана многоэтажного здания. Без использования различных линий: изогнутых, прямых, параллельных здесь не обойтись, именно  они ложатся в основу сотворения любого изображения.

Фото примеры:

Художественная передача геометрических тату выполняется в нестандартном решении:

  • Обычный предмет принимает очертание геометрической фигуры
  • Все эскизы изображаются в двухмерном пространстве
  • Геометрические элементы сочетаются с разнообразными узорами и орнаментами

Что касается выбора участка тела для нанесения рисунка, то в данном случае нет никаких ограничений. Татуировки в стиле геометрия могут быть как массивными и сложными композициями, занимающими всю руку, или спину, так и небольшими, простыми и скромными. Всё зависит только от желания и предпочтения клиента.

 Особенности стиля

Работа над такими эскизами филигранна. Чёткое соблюдение пропорций, ювелирная техника – это уникальный уровень мастерства. Изображение геометрического орнамента с математической точностью, без искажения, при этом вплетая в него узор, создавая определённый сюжет, художественную картинку – это настоящее искусство.

Человеку с креативным мышлением придутся по вкусу различные многодетальные неординарные узоры: огненные знаки, цветы, символы из геометрических линий.

Значение эскизов геометрических татуировок

Фантазийные переплетения простых линий, собранных в единый смысловой рисунок – излюбленная тема мастеров татуировки. Геометрические эскизы одни из самых популярных в мире. С древнейших времён они имеют значение сакральности и таинственности, стоит вспомнить хотя бы символику тайных обществ.

Любой элемент: символ, пентаграмму, руну художник, создающий такие татуировки способен превратить в геометрический узор полный смысла и фантазии.

Большая популярность нательных рисунков в геометрическом стиле объясняется не столько внешней привлекательностью, а в большей степени, их скрытым смысловым значением. Все эти предметы таят в себе подтекст. Даже, казалось бы, самые обычные фигуры наделены значением, причём абсолютно неожиданным.

Например, всем известный треугольник имеет несколько толкований:

  • Семья, брак
  • Огонь, пламя
  • Число три
  • Жизненное равновесие
  • Обеспеченность

Смотреть видео:

Это направление относят к динамично развивающимся, в нём постоянно появляются  новые и оригинальные варианты с использованием линий и фигур.

Желающим получить качественную татуировку, при этом показав уникальное самовыражение, можно смело выбирать стиль геометрия.

Вы можете посмотреть:

Подготовлено: ilucha123 (Бакшеева Ирина Николаевна)

Описание УМК Геометрия. Атанасян Л.С. И др. (7-9) — Группа компаний «Просвещение»

Авторы: Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Самая популярная линия учебников по геометрии переиздавалась более 20 раз и, по-прежнему, не потеряла своей актуальности.

В состав УМК входят:

  • учебник Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия. 7-9 классы
  • рабочая программа
  • рабочие тетради
  • дидактические материалы
  • самостоятельные и контрольные работы
  • тематические тесты
  • пособие для учителя
  • задачи по геометрии

Учебник соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. В учебнике много оригинальных приёмов изложения, которые используются из-за стремления сделать учебник доступным и одновременно строгим. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи. Задания, имеющие электронную версию, отмечены специальным знаком. Добавлены темы рефератов, исследовательские задачи, список рекомендуемой литературы.

Рабочие тетради содержат большое количество чертежей и помогут легко и быстро усвоить материал.

Дидактические материалы включают самостоятельные, контрольные работы, работы на повторение и математические диктанты в нескольких вариантах и различного уровня сложности.

Самостоятельные и контрольные работы даны в виде разрезных карточек.

Тематические тесты предназначены для оперативной проверки знаний и подготовки к государственной итоговой аттестации.

В пособии для учителей сформулированы основные требования к учащимся, даны методические рекомендации по проведению уроков, решены наиболее сложные задачи из учебника, даны карточки для устного опроса, примерное планирование материала.

Приложение к учебнику на электронном носителе содержит анимации, позволяющие лучше понять доказательства теорем; тренажёры, помогающие научиться решать основные типовые задачи; тесты, позволяющие ученикам проверить свои знания; интерактивные модели, позволяющие экспериментально изучить свойства геометрических фигур; справочные материалы, помогающие решать задачи.

Особенности линии:

  • доступное изложение теоретического материала
  • обширный задачный материал
  • возможность организации индивидуальной работы

Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Основной идеей УМК является сочетание наглядности и строгой логики.

В состав УМК входят:

  • Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни) 10-11 классы
  • рабочая тетрадь;
  • дидактические материалы;
  • пособия «Готовимся к ЕГЭ»;
  • поурочные разработки.

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования. В учебнике реализован принцип преемственности с традициями российского образования в области геометрии. При изложении теоретического материала соблюдается систематичность, последовательность изложения. Учебник позволяет обеспечить вариативность, дифференцированность и другие принципы обучения. Его характеризует хорошо подобранная система задач, включающая типовые задачи к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и задачи повышенной трудности. Красочное оформление поможет учащимся лучше усвоить стереометрический материал.

Рабочая тетрадь предназначена для работы учащихся на уроке. Задания, включающие большое количество чертежей, помогут легко усвоить новый материал.

Дидактические материалы содержат самостоятельные и контрольные работы, работы на повторение и математические диктанты в нескольких вариантах, а также задачи повышенной трудности и примерные задачи к экзамену. Большая вариативность представленных в пособии работ позволяет учителю на любом уровне отобрать необходимые задания.

В пособиях «Готовимся к ЕГЭ» в справочной форме приводятся и иллюстрируются на изображениях многогранников и тел вращения основные геометрические сведения. В книги включены задачи, решение которых направленно на неформальное восприятие теоретического материала.

В пособии для учителей «Поурочные разработки» сформулированы основные требования к учащимся, даны методические рекомендации по проведению уроков и распределению задач, самостоятельные и контрольные работы, карточки для устного опроса, примерное тематическое планирование в трех вариантах в зависимости от количества учебных часов, решены сложные задачи учебника и предложены дополнительные.

Особенности линии УМК:

  • возможность использования на базовом и углублённом уровнях;
  • доступность изложения материала, сочетающаяся с достаточной строгостью, краткостью, схематичностью.

Геометрические термины — Бесплатная помощь по математике

Точка:

Точка показывает местоположение и не имеет размера или измерения. Точка обозначается точкой и обычно обозначается буквой по выбору. На приведенном ниже рисунке точки обозначены расположенными рядом буквами.

Линия:

Линия представляет собой набор точек, простирающихся в двух противоположных направлениях без конца. Линия одномерна и не имеет ширины. Это определяется путем обозначения двух точек на линии или написания строчной буквы выбора после линии.

Обозначение, например, AB (написанное символом линии <---> над буквами), читается как «линия AB» и относится к линии, имеющей точки A и B.

Самолет:

Плоскость — это плоская поверхность, не имеющая толщины и простирающаяся без конца во ВСЕХ направлениях. Это двумерный объект. Плоскость представлена ​​​​параллелограммом и может быть названа путем написания заглавной буквы по выбору в одном из его углов. Я подробно расскажу о том, что такое параллелограмм, в следующих уроках.А пока представьте себе параллелограмм как «оконное стекло». Для простоты вы можете думать о плоскости как о бесконечно большом листе бумаги.

На приведенном ниже рисунке показаны три точки, линия и плоскость.

Линейный сегмент:

Отрезок линии — это часть линии, имеющей две точки, называемые конечными точками. Он также имеет точки между конечными точками. Сегмент линии не имеет набора НЕПРЕРЫВНЫХ точек, как линия. Конечная точка означает, что линия имеет начало и конец.Обозначение сегмента линии в строке над любой выбранной буквой. Скажем, на AB есть черта, вы бы прочитали это как «отрезок AB».

Рэй:

Луч — это часть линии, имеющей одну конечную точку и набор всех точек по одну сторону от конечной точки. Луч всегда именуется двумя буквами по выбору. Первая буква должна быть конечной точкой. Рисуем стрелку с концом над буквами.

Угол:

Угол — это соединение двух лучей, имеющих один и тот же конец.Конечная точка угла называется вершиной; лучи называются сторонами угла.

В геометрии есть несколько дополнительных терминов, которые также необходимо понимать. Они определяют отношения между геометрическими объектами:

Коллинеарные точки: точки, лежащие на одной прямой.

Копланарные точки: точки, лежащие в одной плоскости.

Противоположные лучи: 2 луча, лежащих на одной прямой, с общим концом и без других общих точек.Противоположные лучи образуют прямую линию и/или прямой угол, равный 180º.

Параллельные линии: две копланарные линии, которые не пересекаются.

Математические уравнения

Notion использует библиотеку KaTeX для отображения математических уравнений, которая поддерживает большое подмножество функций LaTeX.

Добавление математического уравнения в виде блока

  • Нажмите + слева, когда вы наведете курсор на новую строку. Прокрутите вниз и выберите Уравнение блока в раскрывающемся списке.Либо введите /math и нажмите клавишу ввода.

  • Разместив новый блок уравнений, щелкните внутри него, чтобы ввести или вставить уравнение, или используйте  cmd/ctrl  +  ввод/возврат .

Добавить встроенное математическое уравнение

Точно так же, как вы можете отформатировать текст в Notion как полужирный , зачеркнутый или кодовое обозначение , вы также можете отформатировать текст как математическое уравнение, например эту квадратную формулу:

Существует несколько различных способов добавления встроенных математических уравнений, и все они удобны для клавиатуры.

  • Введите два знака доллара, а затем уравнение. Когда вы закроете формулу еще двумя знаками доллара, она превратится в уравнение.

  • Чтобы открыть ввод уравнения, используйте сочетание клавиш  ctrl/cmd  +  shift  +  E .

  • Введите уравнение в поле ввода и нажмите введите .

В меню форматирования:

  • Выделите уравнение в абзаце.

  • Нажмите кнопку √x в появившемся меню форматирования или используйте сочетание клавиш  ctrl/cmd  +  shift + E . Ваш выбранный текст должен превратиться в уравнение.

  • Вы можете редактировать существующее уравнение, щелкнув по нему. Это откроет ввод уравнения, и любые изменения, внесенные вами в уравнение, будут отображаться на вашей странице.

  • Для перехода к уравнению также можно использовать клавиши со стрелками на клавиатуре.Ввод уравнения откроется, когда ваш курсор пройдет над уравнением, и ввод уравнения закроется, если вы продолжите нажимать клавишу со стрелкой в ​​том же направлении.

Notion поддерживает весь спектр символов и операций языка \KaTeX. Для получения полного списка поддерживаемых функций перейдите по ссылкам ниже:

Поддерживаемые функции · KaTeX

Примечание: KaTeX охватывает большинство, но не все математические обозначения, поддерживаемые LaTeX. Если ваше уравнение не отображается правильно в Notion, перейдите по ссылкам выше, чтобы узнать, поддерживается ли эта функция.

Что такое угол? — [Определение, факты и примеры]

Что такое угол? В геометрии угол можно определить как фигуру, образованную двумя лучами, встречающимися в общей конечной точке.

Угол обозначается символом ∠. Здесь угол внизу равен ∠AOB.

Углы измеряются в градусах с помощью транспортира.

Части угла:

Плечи: Два луча, соединяющиеся в угол, называются плечами угла.Здесь OA и OB являются плечами ∠AOB.

Вершина: общая конечная точка, в которой два луча встречаются, образуя угол, называется вершиной. Здесь точка O является вершиной ∠AOB.

Мы можем найти углы в различных вещах вокруг нас, например, в ножницах, хоккейной клюшке, стуле.

 

Типы уголков

Углы могут быть классифицированы на основе их размеров как

— Острые углы                             — Прямые углы                                                       

— Прямые углы                          — Рефлекторные углы                                                                 

Внутренние и внешние уголки: Внутренние углы: Внутренние углы — это углы, образованные внутри или внутри формы.

Здесь ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — внутренние углы.

Внешние углы: Внешние углы — это углы, образованные снаружи между любой стороной фигуры и линией, продолжающейся от примыкающей стороны. Здесь ∠ACD — внешний угол.

Интересные факты

  • Слово «угол» произошло от латинского слова Angulus, означающего «небольшой изгиб».
  • Понятие угла впервые использовал Евдем, который определил угол как отклонение от прямой линии.

 Давайте петь!

Острый угол такой маленький,

Прямой угол в углу стены,

Тупой угол в 2:50 днем,

Прямой угол в соломинке цвета натриевой извести!

Столько ракурсов вокруг, даже в миме!

 Давай сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать детям листы с геометрическими углами, попросите ребенка наблюдать/отмечать предметы, в которых они могут найти разные углы, например, вешалки, стрелки часов или крышу дома.

 Связанный математический словарь

Дошкольное математическое образование | ЭКЛКС

Субдомен: подсчет и мощность

Цель П-МАТЕМАТИКА 1. Ребенок знает названия чисел и последовательность счета.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Произносит или подписывает несколько числовых слов подряд (до 10), начиная с единицы.Понимает, что счетные слова — это отдельные слова, такие как «один», «два», «три» и «одиндватри». Произносит или показывает больше числовых слов подряд.  
  • Считает устно или знаками не менее чем до 20 единицами.

Цель П-МАТЕМА 2. Ребенок узнает количество предметов в маленьком наборе.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Развивает понимание того, что означают целые числа.Начинает узнавать количество мелких предметов в группах без счета (так называемое «субитирование»). Быстро распознает количество объектов в небольшом наборе (так называемое «субитирование»).  
  • Мгновенно распознает, не считая, небольшое количество до пяти предметов и произносит или подписывает число.

Цель П-МАТЕМАТИКА 3. Ребенок понимает отношения между числами и количествами.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Начинает координировать словесный счет с предметами, указывая на предметы или перемещая их для небольших групп предметов, выстроенных в линию (так называемое взаимно-однозначное соответствие). Начинает понимать, что последнее число представляет количество объектов в группе (называемое «количество элементов»). Понимает, что числовые слова относятся к количеству. Может указывать на предметы или перемещать их, считая предметы до 10 и более (прямое соответствие). Понимает, что последнее число представляет количество объектов в группе (количество элементов).  
  • При счете предметов говорит или подписывает числовые названия по порядку, сопоставляя одно числовое слово, соответствующее одному предмету, не менее чем до 10.
  • Считает и отвечает «Сколько?» вопросы примерно по 10 объектам.
  • Точно подсчитывает до пяти объектов в разбросанной конфигурации.
  • Понимает, что каждое последующее имя числа относится к количеству, которое на единицу больше.
  • Понимает, что последнее произнесенное число представляет количество объектов в наборе.

Цель П-МАТЕМА 4. Ребенок сравнивает числа.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Начинает точно считать и сравнивать предметы примерно одинакового размера, находящиеся в небольших группах с помощью взрослых, например, считает стопку из двух кубиков и стопку из четырех, и определяет, имеют ли стопки одинаковые или разные номера блоков.Идентифицирует первый и второй объекты в последовательности. Считает для определения и сравнения количества чисел, даже если объекты большей группы меньше по размеру, например кнопки, по сравнению с объектами меньшей группы, которые больше по размеру, например маркеры. Использует числа, относящиеся к порядку или положению.  
  • Определяет, является ли количество объектов в одной группе больше, меньше или равно количеству объектов в другой группе, по крайней мере, для пяти объектов.
  • Идентифицирует и использует числа, относящиеся к порядку или позиции от первого до десятого.

Цель П-МАТЕМА 5. Ребенок связывает количество с написанными цифрами до 5 и начинает писать числа.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Начинает понимать, что написанное числительное представляет количество и может рисовать объекты или использовать неформальные символы для представления чисел. Понимает, что написанные числа обозначают количество предметов, и использует информационные символы, такие как подсчет, для обозначения чисел. При поддержке взрослых пишет некоторые цифры до 10.  
  • Связывает ряд объектов с написанной цифрой 0–5.
  • Распознает и при поддержке записывает некоторые цифры до 10.
Дошкольники развивают математические знания, взаимодействуя с материалами.

Подобласть: операции и алгебраическое мышление

Цель P-MATH 6. Ребенок понимает сложение как прибавление, а вычитание как отнимание.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Начинает складывать и вычитать очень маленькие наборы предметов при поддержке взрослых.Например, учитель говорит: «У тебя есть три виноградины, а возьми еще одну. Сколько всего?» Ребенок считает три, потом считает еще один, потом считает все четыре: «Раз, два, три, четыре. У меня четыре!» Решает задачи на сложение, соединяя объекты вместе, и задачи на вычитание, разделяя их, используя манипуляции и пальцы для представления объектов.  
  • Представляет сложение и вычитание различными способами, например, пальцами, предметами и рисунками.
  • Решает задачи на сложение и вычитание. Добавляет и вычитает до пяти к или от заданного числа.
  • С помощью взрослых начинает использовать, считая от большего числа для прибавления. Например, при добавлении группы из трех человек и группы из двух человек считает «Один, два, три…», а затем считает «Четыре, пять!» (следим за пальцами). При обратном счете для вычитания, например, при вычитании трех из пяти, считается: «Пять, четыре, три… два!» (следим за пальцами).

Цель P-MATH 7. Ребенок понимает простые схемы.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Узнает простой узор и с помощью взрослого вставляет недостающие элементы узора, например, мальчик, девочка, мальчик, девочка, ___, девочка.Дублирует и расширяет шаблоны ABABAB. Создает, идентифицирует, расширяет и дублирует простые повторяющиеся шаблоны в различных формах, например, с объектами, числами, звуками и движениями.  
  • Заполняет недостающие элементы простых рисунков.
  • Дублирует простые узоры в другом месте, чем показано, например, создает такой же чередующийся цветной узор с кубиками за столом, который был продемонстрирован на ковре. Расширяет шаблоны, такие как создание башни из восьми блоков по тому же шаблону, который был продемонстрирован с четырьмя блоками.
  • Идентифицирует основную единицу последовательно повторяющихся шаблонов, например цвет в последовательности чередующихся красных и синих блоков.

Субдомен: Измерение

Цель P-MATH 8. Ребенок измеряет предметы по их различным признакам, используя стандартные и нестандартные измерения. Использует различия в атрибутах для сравнения.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
При поддержке взрослых начинает понимать, что атрибуты можно сравнивать, например, один ребенок может быть выше другого ребенка. При некоторой поддержке взрослых использует измеряемые признаки для проведения сравнений, например, идентифицирует объекты как одинаковые/разные и больше/меньше.  
  • Измерения с использованием одних и тех же единиц измерения, например, сложение кубов снэпа для определения высоты книги.
  • Сравнивает или упорядочивает до пяти объектов на основе их измеримых атрибутов, таких как рост или вес.
  • Использует сравнительные выражения, такие как «самый короткий», «тяжелый» или «самый большой».

Дети, изучающие два языка (DLL), могут быть привлечены к изучению математики и естественных наук для практического обучения, которое они предлагают. В то же время им может быть удобнее изучать научные или математические дисциплины на родном языке.

Субдомен: Геометрия и пространственное чувство

Цель П-МАТЕМАТИКА 9. Ребенок определяет, описывает, сравнивает и составляет фигуры.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Распознает и называет обычные круги, квадраты и иногда треугольники.При поддержке взрослых сопоставляет некоторые фигуры разного размера и ориентации. Распознает и сравнивает большее количество фигур разного размера и ориентации. Начинает различать стороны и углы как отдельные части фигур.  
  • Называет и описывает фигуры по длине сторон, количеству сторон и количеству углов.
  • Правильно называет основные фигуры независимо от размера и ориентации.
  • Анализирует, сравнивает и сортирует двух- и трехмерные формы и объекты разных размеров.Описывает их сходства, различия и другие атрибуты, такие как размер и форма.
  • Создает и строит фигуры из компонентов.

Цель П-МАТЕМА 10. Ребенок исследует положение предметов в пространстве.

Прогресс в развитии   Индикаторы
от 36 до 48 месяцев от 48 до 60 месяцев   К 60 месяцам
Начинает понимать пространственную лексику.При поддержке взрослых следует указаниям, связанным с их собственным положением в пространстве, например: «Встань и вытяни руки к небу». Все больше понимает пространственный словарный запас. Выполняет указания, связанные с их собственным положением в пространстве, например, «Переместиться в начало очереди».  
  • Понимает и использует язык, связанный с направлением, порядком и положением объектов, включая вверх/вниз и впереди/сзади.
  • Правильно следует указаниям, связанным с их собственным положением в пространстве, таким как «Встать» и «Двигаться вперед».»
В контексте игры дошкольники узнают о положении собственного тела в пространстве.

Последнее обновление: 4 октября 2018 г.

Откройте для себя происхождение деления и умножения

В сегодняшней статье мы объясним происхождение математических символов деления и умножения.

Символ разделения:


Существует множество способов обозначения деления, и мы собираемся объяснить происхождение некоторых наиболее часто используемых и известных всем символов.

Горизонтальная черта дробей, введенная арабами, была впервые использована в Европе математиком Фибоначчи в тринадцатом веке, хотя ее использование не получило распространения до шестнадцатого века.

Наклонная черта, вариант горизонтальной, была введена Де Морганом в 1845 году. Это был типографский ресурс в печатных книгах, чтобы можно было писать дробь в одну строку. Символ, который сегодня широко используется для обозначения деления:
Другим одним из знаков была скобка, хотя в настоящее время она мало используется.Чтобы выразить 21, деленное на 3, мы напишем 21) 3 и поместим результат деления справа после еще одной скобки: 21) 3 (7.

Этот знак встречается в части Arithmetica integra (1544) немецким математиком Михаэлем Штифелем.

Этот же математик также использовал заглавные буквы M и D для обозначения умножения и деления в своей работе Deutsche Arithmetica (1545). Другие авторы также использовали букву D, в том числе как перевернутую D, например, французы Дж.Э. Галлимар (1685-1771) и другие павшие д, такие как португалец Ж. А. да Куна (1744-1787).

Один из до сих пор используемых символов деления — полоса с точками вверху и внизу. Он был введен швейцарским математиком Иоганном Генрихом Раном в его работе Teutsche Algebra (1659). Этот знак деления очень нагляден, вплоть до того, что черта дроби является общей нормой.

Этот символ не имел большого успеха ни в его родной стране, Швейцарии, ни в Европе.Впрочем, так было и в Великобритании, и в США. В частности, этот символ до сих пор используется в калькуляторах для деления.

Немецкий математик Готфрид В. Лейбниц ввел две точки ( : ), и в настоящее время это наиболее широко используемый символ. Согласно Лейбницу, одно из преимуществ использования этого символа состоит в том, что деление может вестись вдоль той же линии и сохраняет связь деления с умножением, для чего Лейбниц использовал точку.

Что касается гномона или угла, который мы используем для разделения множителей деления (делимое, делитель и частное), информации немного.

Но Бойер в своей History of Mathematics , стр. 282, говорит: «Арабы, а через них позже и европейцы, переняли большую часть своих арифметических ухищрений от индусов, и поэтому весьма вероятно, что метод «длинное деление», известное как «метод галеры» из-за его сходства с кораблем с развернутыми парусами, также происходит из Индии.Судя по всему, «метод камбуза» использовал угол, аналогичный используемому в настоящее время.

Символ умножения:

Во времена вавилонян использовали идеограмму: «а-ду». В манускрипте Бахшиили , старейшем манускрипте по индийской математике, они поставили рядом один множитель и ничего больше. Индийский математик Бхаскара Ачария (1114–1185) использовал слово «бхавита» или «бха» сразу после факторов.

Другие математики использовали букву М для умножения и букву D для деления, как мы уже говорили ранее.
В старые времена арифметики многие алгоритмы использовали крест Сан-Андрес для решения продуктов деления и умножения и пропорций. Возможно, по этой причине в 1631 году Утред выбрал этот крест как символ умножения.

Он получил широкое признание, за исключением математиков Готфрида В. Лейбница и Исаака Ньютона, которые не чувствовали себя полностью комфортно с этим символом. Лейбниц в 1698 году в одном из своих писем к математику Иоганну Бернулли пишет: «Мне не нравится символ × как символ умножения, так как его можно принять за х; … Я часто просто связываю две величины точкой, а умножение обозначаю RS · PQ.

По этой причине Лейбниц ввел точку как символ умножения.

Были и другие символы для умножения. Например, швейцарский математик Иоганн Ран (1622-1676) использовал звездочку * в своей работе Teutsche Algebra (1659). А также Лейбниц, который ранее использовал упавшую С открытой стороной вниз в своей Dissertatio комбинаторного искусства (1666).

Я надеюсь, что этот пост о делении и умножении и символах, которые мы используем для их выражения, был интересен.

Если вы хотите больше узнать о делении и умножении, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте его бесплатно.

Узнать больше:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Эд Ширан объясняет, что назвал свои альбомы в честь математических символов

Название альбома Эда Ширана легко указать в списке, потому что все они, за исключением No. 6 Collaborations Project 2019 года, названы в честь математических символов: + 2011 года, x 2014 года, 6 ​​÷ 2017 года. , а в 2021 году = . Наличие такого фирменного стиля — хороший способ выделиться, но Ширан говорит, что отчасти причина, по которой он пошел по этому пути в своей карьере, заключается в том, что он сам не выделялся.

В недавнем интервью новозеландскому проекту Project NZ Ширан сказал, что его соглашение об именах альбомов было вызвано его, как он сам это описывает, «лицом для радио»:

«Дело в том, что с альбомами я в самом начале своей карьеры решил, что не буду… Я не хочу преуменьшать это, но у меня есть лицо для радио. И я такой: «Я действительно никогда не хочу быть мальчиком с плаката». Я не хочу, например, продавать свою пластинку, говоря: «Эй, как дела?»

Так что я придумал способ, я подумал: «Я собираюсь сделать это с помощью цветов и символов».Так что я подумал: «Я бы хотел, чтобы рекламный щит был просто красным со знаком равенства, или зеленым со знаком умножения, или синим с делением, или оранжевым со знаком плюс, и люди идут, «О, у Эда выходит альбом».

Затем, когда один из ведущих предположил, что (он же минус ) будет «очевидным выбором» для названия следующего альбома Ширана, он ответил: «Это не будет следующая запись, которую я выпущу. У меня есть кое-что еще, немного более кривое.У нас это первое падение за десять дней. Через десять дней что-то выйдет. Я не думаю, что это будет массовый успех в Новой Зеландии, если честно. Скорее всего, это станет большим хитом где-нибудь в другом месте. Когда ты это услышишь, ты поймешь».

Итак, судя по времени интервью, поклонники Ширана должны ожидать от него чего-то нового в конце следующей недели.

Ознакомьтесь с интервью ниже.

Эд Ширан — артист Warner Music.Uproxx — независимая дочерняя компания Warner Music Group.

LaTeX — Использование математических символов и уравнений

Серия статей о ведении блога с помощью LaTeX

Это 2-й пост в серии. Предыдущий:

В этой серии статей рассказывается о моем первом опыте использования инструментов обработки математических выражений, предоставляемых WordPress для ведения блога.4 дает

.{5050}

\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}

A \xleftarrow{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C

\overset{\alpha}{\omega} \underset{\mu}{\nu} \overset{\beta}{\underset{\Delta}{\tau}} \stackrel{\zeta}{\eta}

.

Наборы

Устанавливает операции и связанные с ними символы.

\in \ni \notin \varnothing \дополнение

\subset \subseteq \subsetneq \supset \supseteq \supsetneq

\крышка \бигкап \чашка \бигкап

\ell \mho \finv \re \im \wp

Другие – примеры использования каллиграфического шрифта (\cal) и греческого шрифта для обозначения наборов:

{\cal A} \setminus {\cal B} дает

\Omega \smallsetminus \omega дает

.

Логика

Логические операторы и отношения:

\forall \exists \nexists \bar{A} \mid

\А\клин\ви\нег\к\получает\фф

\bigwedge \bigvee \diamond \lozenge

\vdash \Vdash \vDash \Vvdash \модели \dashv

Примеры:

Obs — оператор \limits , показанный в примерах выше, ставит индексы точно над и/или под символом.\окр

\perp \mid \nmid \| \асимметричный \параллельный

.

Стрелы

Некоторые более часто встречающиеся типы стрел (их гораздо больше — см. статью в Википедии)

\стрелка влево \стрелка вправо \стрелка влево \стрелка влево \стрелка вправо \стрелка влево

\leftarrow \gets \rightarrow \to \not\to \leftrightarrow \longleftarrow \longrightarrow

\rightleftharpoons \leftleftarrows \leftrightarrows \Lleftarrow \leftarrowtail

\стрелка вверх \стрелка вниз \стрелка вверх\стрелка вверх \стрелка вверх \стрелка вниз \стрелка вверх

.

Специальные символы

Некоторые специальные символы. В статье

Википедии есть еще много чего.

\S \P \% \dagger \ddagger \ldots \cdots

\smile \frown \wr \triangleleft \triangleright \infty \bot \top

\imath \hbar \jmath \surd \ast \amalg \следовательно \backepsilon \sharp

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.