Что означает знак u в алгебре: Что обозначает этот знак U в алгебре

Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме:

Reduce[{0 < x < 2, 1 <= x <= 4}, x]

Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:

Reduce[(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) > 0, x]

Функция NumberLinePlot — это удобный способ визуализации этих результатов:

 NumberLinePlot[x < 1 || 2 < x < 3 || x > 4, {x, -10, 10}]

Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:

quadratic equation

Справочная информация: Полиномиальные уравнения »

Справочная информация: Решение уравнений »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

6/2(2+1)= Как решается этот проклятый пример: denis_demakhin — LiveJournal

Делал по нему опросы

И сейчас попробую обосновать мою новую точку зрения, которая теперь выглядит так:

Дело в том, что между алгеброй и арифметикой есть разница в порядке действий:

Теперь понятно, почему инженерный калькулятор показывает ответ: 1.

Он не сломался. Он алгебраический.

Алгебраический калькулятор считает по правилам алгебры.

Осталось понять, алгебраический это пример или арифметический. От этого будет зависеть ответ.

Букв в примере нет, однако, в нем есть пропущенный знак умножения перед скобкой:

Случаи возможного пропуска знака умножения:

1. Между буквенными множителями;


2. Между числовым и буквенным множителем;


3. Между множителем и скобкой;


4. Между выражениями в скобках.

И получается, что если выражение (2+1) заменить на икс, то написание 6/2Х читается как «шесть, разделить на два икса».

Тогда ответ: 1.

Но почему тогда самая умная штука на Земле — Гугл-поисковик считает, что ответ 9?

Потому что и Гугл и смартфон считают по арифметическим правилам.

Но вот тут есть тонкий момент. Арифметические правила должны, по-правильному то, действовать при указании знака умножения. Так, как я написал здесь:

Тут уже нет оснований применять правила алгебры, в которых пропущенный знак умножения считается неразрывным. И ответ получается: 9.

Вывод:

Всё зависит от того, алгебра это или арифметика.

Еще интересные штуки:

Задачи, ломающие мозг (с ответами, спрятанными под спойлер)

Тренировка ума развивальщика предприятий

Подписывайся, мыслитель!

Метод интервалов (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Что такое интервал?

Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Рисуем ось \( X\), на ней располагается весь числовой ряд от \( -\infty \) и до \( +\infty \). На ось наносятся точки, те самые так называемые нули функции, значения, при которых выражение равняется нулю.

Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве \( >\), а не \(\ge\), то есть строго больше, а не больше или равно.

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

Теперь просто…

Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Короче, просто берем \( -2\) например, подставляем его сюда \( (x+1)\cdot ({x}-2)\), получится \( 4\), а \( 4>0\).

Значит на всем промежутке (на всем интервале) от \( -\infty \) до \( -1\), из которого мы брали \( -2\), неравенство будет справедливо.

Иными словами если икс от \( -\infty \) до \( -1\), то неравенство верно.

То же самое делаем и с интервалом от \( -1\) до \( 2\), берем \( 0\) или \( 1\), например, подставляем в \( (x+1)\cdot ({x}-2)\), определяем знак, знак будет «минус». И так же делаем с последим, третьим интервалом от \( 2\) до \( +\infty \), где знак получится «плюс».

Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство \( (x+1)\cdot ({x}-2)>0\).

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

Правильно, от \( -\infty \) до \( -1\) неравенство будет справедливо и от \( 2\) до \( +\infty \).

А на промежутке от \( -1\) до \( 2\) неравенство \( <\) нуля и нас этот промежуток мало интересует, ведь у нас в неравенстве знак \( >\) стоит.

Ну, раз ты с этим разобрался, то дело за малым – записать ответ!

В ответ пишем те промежутки, при которых левая часть больше нуля, \( x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\), что читается, как икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одного и от двух до плюс бесконечности.

Стоит пояснить, что круглые скобки означают, что значения, которыми ограничен интервал не являются решениями неравенства, то есть они не включены в ответ, а лишь говорят о том, что до \( -1\), например, но \( -1\) не есть решение.

Теперь пример, в котором тебе придется не только интервал рисовать.

Метод интервалов — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  .

, где  и  — корни квадратного уравнения .

Получим:

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и  — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и  — закрашены, так как неравенство нестрогое. При  и  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При  левая часть неравенства отрицательна. 

И, наконец, . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

, или , или , или .

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Снова расставляем точки на оси . Точки и  — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка  — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель  стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

— которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

И после этого — применим метод интервалов.

Штрихи, штришки и штришочки / Хабр

Практика показывает, что если тире или кавычки — это первое, что изучают при появлении интереса к «типографике» (а на самом деле — к грамотному набору текста), то правильное употребление апостро́фа, знаков минут и секунд, знака ударения вызывает почему-то бо́льшие затруднения. На самом деле, всё очень просто, и статья будет довольно короткой. Всё, о чём будет сказано ниже, относится к современной русской традиции типографики.

На стандартной PC-клавиатуре есть три символа со штрихами: «’» и «»» на кнопке вместе с русской «э», а также «`» на периферийной кнопке с буквой «ё».

Ни один из этих символов не используется при нормальном, грамотном наборе текста. Однако, нельзя отрицать важность символов «’» и «»» при программировании и вёрстке HTML, чего мы делать и не будем.

‘	U+0027	апостро́ф	Этот знак действительно называется «APOSTROPHE» в Unicode, находится там, потому что так исторически сложилось в кодировке ASCII. Стандарт Unicode специально подчёркивает, что символ U+0027 имеет широкое использование, а собственно в роли апострофа должен выступать другой знак, о котором речь пойдёт ниже.
«	U+0022	кавычка	Просто «кавычка», «QUOTATION MARK». Имеет широкое использование, но в качестве собственно текстовых кавычек рекомендованы другие символы, о которых речь также пойдёт ниже.
`	U+0060	гра́вис	Гравис используется для того, чтобы акцентировать гласные в некоторых европейских языках: французском (déjà vu), итальянском (virtù), португальском, валлийском (mẁg) и других. Таким образом, гравис совершенно не употребляется в современном русском языке, а также не имеет никакого отношения к апострофам или кавычкам.

Ошибки трактования этих знаков встречаются достаточно часто. В «Живой типографике» символ «»» спутан со знаком секунды (о котором я также расскажу ниже), в некоторых пособиях гравис называют обратным апострофом, и так далее.

Я предлагаю называть по-русски «’» стандартным или машинописным апострофом, «»» — стандартной или машинописной кавычкой, а «`», как ему и положено, грависом.

О кавычках я писал в статье

, но будет нелишним напомнить ещё раз, поразвёрнутее.

«	U+00AB	открывающая кавычка-ёлочка	Вот они, настоящие, правильные, традиционные кавычки-ёлочки. Именно так должны выглядеть основные кавычки в русскоязычном текстовом наборе. Они не должны отбиваться пробелами от текста, который они окружают.
»	U+00BB	закрывающая кавычка-ёлочка
„	U+201E	открывающая кавычка-лапка	А это — настоящие традиционные кавычки второго рисунка, „лапки“. Именно так должны выглядеть вложенные кавычки в русскоязычном текстовом наборе. Они также не отбиваются пробелами от окружённого ими текста. Так уж сложилось, что кавычки-лапки заимствованы из немецкой типографики, а Unicode базировался на типографике американской. Поэтому наша открывающая кавычка называется в Unicode просто «двойной нижней из девяток» (потому что запятые обращены вниз и похожи на две цифры 9), а наша закрывающая кавычка наоборот называется «двойной открывающей».
“	U+201C	закрывающая кавычка-лапка
‘	U+2018	открывающая ма́рровская кавычка	«Марровская» — это, пожалуй, жаргонизм. Правильно эти кавычки называются английскими одинарными. Эти кавычки используются только в филологии, где их ввёл в первой половине XX века академик Н. Я. Марр. Они используются для того, чтобы обозначить некоторое слово, значение слова или его происхождение («от латинского appellatio ‘сообщение’», «со словом ‘посёлок’ не склоняется»). Найти марровские кавычки можно в любом содержательном словаре, но обычному человеку (не филологу) эти кавычки употреблять не нужно, потому что незачем. В некотором смысле, это узкоспециальные знаки.
’	U+2019	закрывающая ма́рровская кавычка

Я предлагаю называть кавычки либо по рисунку (кавычки-ёлочки, кавычки-лапки, марровские кавычки), либо собирательно «традиционные кавычки», чтобы отличать их от стандартной (машинописной) кавычки, которая есть у нас на клавиатуре.

Стоит упомянуть, что в шрифте Verdana в MS Windows (в том числе и в версии 5.01) закрывающая кавычка-лапка (она же открывающая двойная английская кавычка) имеет неправильный рисунок (штрихи развёрнуты вниз, а не вверх), так что не пугайтесь.

В русском языке апостроф используется достаточно редко. В основном — в иностранных именах, где в родном языке стоит апостроф: Д’Артаньян, Сара О’Коннор, и так далее. Сейчас учащается использование апострофа при наращении иностранных слов и наименований, не транскрибированных на русский: «Intel’овский процессор», «скинуть e-mail’ом». Раньше такое употребление считалось неверным, но норма языка изменилась на наших глазах, и теперь такое употребление допустимо.

Я предлагаю называть этот апостроф традиционным апострофом, в отличие от стандартного (машинописного) апострофа. Традиционный апостроф включён в ряд «типографских» раскладок клавиатуры и доступен для набора с клавишей AltGr.

Наверное, стоит упомянуть, что в Unicode есть ещё апостроф-буква (U+02BC), который имеет семантику именно буквы, а не орфографического знака. Апостроф используется в качестве буквы в некоторых языках, но к русскому это отношения не имеет.

´

U+0301

знак ударения, аку́т

Знак ударения используется, чтобы отличать слова «стои́т» и «сто́ит», «больша́я» и «бо́льшая», «уже́» и «у́же», и так далее. Разумеется, акут надо ставить только в том случае, когда возможны разночтения. Ина́че э́то бу́дет похо́же на де́тский буква́рь. Знак ударения, естественно, ставится над ударной буквой. Символ U+0301 при наборе ставится после гласной, на которую падает ударение, как и любой другой комбинирующийся символ Unicode.

Как многие, наверное, успели заметить, шрифт Verdana от Microsoft и с акутом не дружит, размещая его над следующим, а не над предыдущим символом. Я не знаю, есть ли подобная проблема в MacOS или *nix. Будем надеяться, что она отомрёт со временем.

Вообще говоря, проблема решается обновлением шрифта до версии 5.01, Verdana этой версии правильно обрабатывает диакритики. Для обновления можно скачать European Union Expansion Font Update, который доводит Verdana до версии 5.01 и решает проблему в Windows XP и Vista. Также приведу ссылку на скачивание отдельно шрифта Verdana 5.01 в формате TTF.

′	U+2032	одинарный штрих	Одинарный штрих используется для обозначения угловых минут, а двойной штрих — секунд (например, 59° 57′ 00″). Напомню, что в такой записи знаки градуса, минуты и секунды не отбиваются пробелами от предшествующего числа, а от последующего отбиваются тонкой шпацией  .
″	U+2033	двойной штрих

В английской типографике эти же знаки используются для обозначения фута и дюйма (5′ 10″ tall), но в русской традиции это не принято. Теперь мы часто можем видеть в рекламе обозначения «19″ монитор» вместо «19-дюймовый монитор». Точнее, мы видим, как вместо знака дюйма (двойного штриха) используется стандартная кавычка: «19″ монитор». Это совсем неправильно.

Возможно, в связи с проникновением компьютерных технологий в современную жизнь и общей глобализацией, одинарный и двойной штрихи приживутся в качестве сокращений для фута и дюйма в тесном наборе, но в обычных текстах я рекомендую писать слова «фут» и «дюйм» полностью.

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Таблица умножения

К оглавлению…

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

Таблица символов шрифта Контракт

Таблица символов

•        ABCD
  #$%&
  1234

Латиница

Кириллица

Цифры

Пунктуация

Надстрочные и подстрочные

Валюта

Символы и стрелки

Дополнительная латиница-1

Латиница A

Латиница B

О символе

• Юникод: %unicode%
• Блок: %block%

Применение

• Copy-paste: %copyPaste%
• Windows: %windows%
• HTML: %html%

Основная латиница

0021

0022

0025

0027

0028

0029

002D

002F

0030

0031

0032

0033

0034

0035

0036

0037

0038

0039

003B

003C

003E

003F

0040

0041

0042

0043

0044

0045

0046

0047

0048

0049

004A

004B

004C

004D

004E

004F

0050

0051

0052

0053

0054

0055

0056

0057

0058

0059

005A

005B

005C

005D

005E

005F

0061

0062

0063

0064

0065

0066

0067

0068

0069

006A

006B

006C

006D

006E

006F

0070

0071

0072

0073

0074

0075

0076

0077

0078

0079

007A

007B

007C

007D

Дополнительная латиница-1

00A1

00A2

00A3

00A6

00A9

00AA

00AB

00AE

00AF

00B0

00B1

00B2

00B3

00B4

00B6

00B7

00B9

00BA

00BB

00BF

00C0

00C1

00C2

00C3

00C4

00C5

00C6

00C7

00C8

00C9

00CA

00CB

00CC

00CD

00CE

00CF

00D0

00D1

00D2

00D3

00D4

00D5

00D6

00D7

00D8

00D9

00DA

00DB

00DC

00DD

00DE

00DF

00E0

00E1

00E2

00E3

00E4

00E5

00E6

00E7

00E8

00E9

00EA

00EB

00EC

00ED

00EE

00EF

00F0

00F1

00F2

00F3

00F4

00F5

00F6

00F7

00F8

00F9

00FA

00FB

00FC

00FD

00FE

00FF

Расширенная латиница-A

0100

0101

0102

0103

0104

0105

0106

0107

010A

010B

010C

010D

010E

010F

0110

0111

0112

0113

0116

0117

0118

0119

011A

011B

011E

011F

0120

0121

0122

0123

0126

0127

012A

012B

012E

012F

0130

0131

0136

0137

0139

013A

013B

013C

013D

013E

0141

0142

0143

0144

0145

0146

0147

0148

014A

014B

014C

014D

0150

0151

0152

0153

0154

0155

0156

0157

0158

0159

015A

015B

015E

015F

0160

0161

0162

0163

0164

0165

0166

0167

016A

016B

016E

016F

0170

0171

0172

0173

0174

0175

0176

0177

0178

0179

017A

017B

017C

017D

017E

Расширенная латиница-B

0192

0218

0219

021A

021B

Некомбинируемые протяжённые символы-модификаторы

02C6

02D9

02DA

02DC

02DD

Комбинируемые диакритические знаки

0300

0301

0302

0303

0304

0306

0307

0308

030A

030B

030C

0312

0326

0327

0328

0335

0338

Кириллица

0401

0410

0411

0412

0413

0414

0415

0416

0417

0418

0419

041A

041B

041C

041D

041E

041F

0420

0421

0422

0423

0424

0425

0426

0427

0428

0429

042A

042B

042C

042D

042E

042F

0430

0431

0432

0433

0434

0435

0436

0437

0438

0439

043A

043B

043C

043D

043E

043F

0440

0441

0442

0443

0444

0445

0446

0447

0448

0449

044A

044B

044C

044D

044E

044F

0451

Дополнительная расширенная латиница

1E80

1E81

1E82

1E83

1E84

1E85

1EF2

1EF3

Знаки пунктуации

2011

2012

2013

2014

2018

2019

201A

201C

201D

201E

2021

2022

2026

2030

2039

203A

2044

Символы валют

20BD

Буквоподобные символы

2116

2122

Математические операторы

2212

2248

2264

2265

Геометрические фигуры

25FC

Алфавитные формы представления

FB01

FB02

Поддерживаемые языки

• Русский
• Английский
• Албанский
• Баскский
• Болгарский
• Венгерский
• Датский
• Ирландский
• Исландский
• Испанский
• Итальянский
• Карельский
• Латышский
• Литовский
• Немецкий
• Норвежский
• Польский
• Португальский
• Румынский
• Словацкий
• Словенский
• Турецкий
• Туркменский
• Финский
• Французский
• Чешский
• Шведский
• Эстонский

Русский

Эти ящерицы чешут вперёд за ключом, но багаж в сейфах, поди подъедь…

Португальский

Luís argüia à Júlia que «brações, fé, chá, óxido, pôr, zângão» eram palavras do português

Французский

Bâchez la queue du wagon-taxi avec les pyjamas du fakir

Английский

Astronaut Quincy B. Zack defies gravity with six jet fuel pumps.

Немецкий

Zwölf große Boxkämpfer jagen Viktor quer über den Sylter Deich

Румынский

Gheorghe, obezul, a reuşit să obţină jucându-se un flux în Quebec de o mie kilowaţioră

Болгарский

Ах, чудна българска земьо, полюшквай цъфтящи жита

Датский

Quizdeltagerne spiste jordbær med fløde, mens cirkusklovnen Walther spillede på xylofon

Исландский

Kæmi ný öxi hér ykist þjófum nú bæði víl og ádrepa

Испанский

La cigüeña tocaba cada vez mejor el saxofón y el búho pedía kiwi y queso

Итальянский

Pranzo d’acqua fa volti sghembi

Латышский

Ķieģeļu cepējs Edgars Buls fraku un hūti žāvē uz čīkstošām eņģēm

Литовский

Įlinkdama fechtuotojo špaga sublykčiojusi pragręžė apvalų arbūzą

Норвежский

Høvdingens kjære squaw får litt pizza i Mexico by

Польский

Dość gróźb fuzją, klnę, pych i małżeństw!

Словацкий

Kŕdeľ šťastných ďatľov učí pri ústí Váhu mĺkveho koňa obhrýzať kôru a žrať čerstvé mäso

Словенский

Piškur molče grabi fižol z dna cezijeve hoste

Турецкий

Pijamalı hasta, yağız şoföre çabucak güvendi

Финский

Viekas kettu punaturkki laiskan koiran takaa kurkki

Чешский

Příliš žluťoučký kůň úpěl ďábelské ódy

Шведский

Flygande bäckasiner söka hwila på mjuka tuvor

Эстонский

Põdur Zagrebi tšellomängija-följetonist Ciqo külmetas kehvas garaažis

Заказать дизайн…

Введение в математические символы для объединения и пересечения

Вопрос нашего читателя: « Есть два набора символов для« объединения »и« пересечения ». Один — ∪ и перевернутый ∩ , а другой — ∨ и ∧ . Какая связь между этими символами, которые мы иногда воспринимаем как «U» и «V» ?

Итак, давайте вспомним о наших Мы и Против и их перевернутых товарищах в союзах и пересечениях, а также о логических функциях. по цене ∧ .

Символ «Объединение множеств» — « ∪ », а символ «пересечения множеств» — «∩».

Теория множеств для объединения и пересечения

Мы используем диаграммы Венна, чтобы показать объединения и пересечения. Изображение Майка ДеХаана

Подход, который наиболее тесно связан с этим вопросом, включает теорию множеств. Пусть A = {a, e, i, o, u, y} и B = {a, b, c, d, e, f}.

Объединение наборов «A» и «B» — это набор, содержащий уникальные элементы, обнаруженные либо в наборе «A», либо в наборе «B», либо в обоих.Другими словами, «Соберите все элементы вместе, но отбросьте дубликаты». A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, i, o, u, y}.

Пересечение наборов «A» и «B» — это набор, содержащий уникальные элементы как из набора «A», так и из набора «B». Другими словами, чтобы создать пересечение, выберите только элементы, найденные в обоих исходных наборах, которые являются дубликатами, отброшенными операцией объединения. A∩B = {a, e}

Что касается исходного вопроса, с точки зрения теории множеств, слово «объединение» относится к символу « ∪ »; а слово «пересечение» относится к символу «».

Математические символы могут сбивать с толку! Изображение JRS

В вопросе нашего читателя мы также спрашивали о букве «V» и перевернутой букве «V», «Λ» или лямбде. Они используются в математической логике.

Пусть утверждение A = «Все люди — млекопитающие». Пусть B = «Все млекопитающие — люди». Пусть C = «Некоторые птицы могут летать при определенных условиях». И «A», и «C» — истинные утверждения, а «B» — ложь.

Пусть «X» и «Y» представляют любые, возможно, верные или ложные утверждения.

В математике логики утверждение «X и Y» или «XΛY» истинно тогда и только тогда, когда истинны и «X», и «Y».

Однако «X или Y» или «X ∨ Y» является ложным тогда и только тогда, когда оба «X» и «Y» ложны. «X ∨ Y» истинно, если истинно либо «X», либо «Y», что включает ситуацию, когда и «X», и «Y» истинны.

Из утверждений примера, «A B», «A ∨ C» и «B ∨ C» все верны. Однако «AΛB» и «BΛC» оба ложны. Только «AΛC» верно, потому что каждое из утверждений «A» и «C» верно.

Компьютеры для программирования с «И» и «ИЛИ»

В зависимости от языка программирования «X и Y» могут быть представлены как «X && Y», а не «XΛY.3 = 2 * 2 * 2 = 8.

При письме на бумаге или когда текстовый редактор поддерживает надстрочный индекс, показатель степени отображается как надстрочный. См. Изображение выше.

Сводка математических символов для пересечения и объединения, и и или

В теории множеств пересечение и объединение обозначаются символами «» и « ∪ ». В математической логике операции «и» и «или» обозначаются буквами «Λ» и «V».

Объединение множеств «A ∪ B» можно рассматривать как объединение всех элементов «A», а также элементов «B»; но это не было бы «и» (‘Λ’) математической логики.

Пересечение множеств «A∩B» еще меньше связано с логической операцией «или» (« ∨ »).

В других областях математики эти символы могут использоваться по-другому, но эти интерпретации имеют прямое отношение к вопросу читателя.

Ссылки :

Документация по Wolfram Mathematica. Перекресток; Союз; И; Или. (2012). По состоянию на 26 июля 2012 г.

Вуд, Алан. Символьный шрифт — альтернативы Unicode для греческих и специальных символов в HTML .(1997-2010). По состоянию на 26 июля 2012 г.

Майк ДеХаан применяет свою степень бакалавра математики в области компьютерных наук, годы программирования на языке Cobol и контроля качества (включая тестирование расчетов процентов по кредитным картам) для исследования и представления математической теории для непрофессионала.

Здесь, в Decoded Science, Майк занимается математикой. Он изучает основы математической теории, раскрывает парадоксы, применяет вычисления к популярным фильмам и сообщает о математических новостях.
Майк начал профессионально писать в 2010 году как единственный владелец DeHaan Services.

Найди Майка в Google+

Определение и использование союза в математике

Одна операция, которая часто используется для формирования новых наборов из старых, называется объединением. В обычном использовании слово «союз» означает объединение, например, профсоюзы в составе профсоюзов или обращение Президента США о положении дел перед совместным заседанием Конгресса. В математическом смысле объединение двух множеств сохраняет идею объединения. Точнее, объединение двух наборов A, и B — это набор всех элементов x , так что x является элементом набора A или x является элементом набора B .Слово, обозначающее, что мы используем союз, — это слово «или».

Слово «Или»

Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не осознавать, что это слово используется по-разному. Путь обычно определяется из контекста разговора. Если вас спросят: «Хотите курицу или стейк?» обычно подразумевается, что у вас может быть одно или другое, но не то и другое одновременно. Сравните это с вопросом: «Хотите масло или сметану на печеный картофель?» Здесь «или» используется в широком смысле: вы можете выбрать только масло, только сметану или и масло, и сметану.

В математике слово «или» используется в широком смысле. Таким образом, утверждение « x является элементом A или элементом B » означает, что возможен один из трех вариантов:

• x — это элемент только A , а не элемент B
• x — это элемент только B , а не элемент A .
• x является элементом как A , так и B .(Можно также сказать, что x — это элемент пересечения A и B

Пример

В качестве примера того, как объединение двух наборов образует новый набор, давайте рассмотрим наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти объединение этих двух наборов, мы просто перечисляем каждый элемент, который видим, стараясь не дублировать какие-либо элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном наборе, либо в другом, поэтому объединение A и B равно {1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8}.

Обозначение для Союза

Помимо понимания концепций, касающихся операций теории множеств, важно уметь читать символы, используемые для обозначения этих операций. Символ, используемый для объединения двух наборов A и B , задается как A ∪ B . Один из способов запомнить символ ∪, относящийся к союзу, — это заметить его сходство с заглавной U, что является сокращением от слова «союз». Будьте осторожны, потому что символ объединения очень похож на символ пересечения.Одно получается из другого вертикальным переворотом.

Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Здесь у нас были наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Итак, мы бы записали заданное уравнение A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Соединение с пустым набором

Одна базовая идентичность, которая включает объединение, показывает нам, что происходит, когда мы берем объединение любого набора с пустым набором, обозначенным # 8709.Пустой набор — это набор без элементов. Так что присоединение этого к любому другому набору не даст никакого эффекта. Другими словами, объединение любого набора с пустым набором вернет нам исходный набор.

Это тождество становится еще более компактным с использованием наших обозначений. Имеем тождество: A ∪ ∅ = A .

Соединение с универсальным набором

Что касается другой крайности, что происходит, когда мы исследуем объединение множества с универсальным множеством? Поскольку универсальный набор содержит каждый элемент, мы не можем добавить к нему ничего другого.Таким образом, объединение или любой набор с универсальным набором является универсальным набором.

Опять же, наши обозначения помогают нам выразить эту идентичность в более компактном формате. Для любого набора A и универсального набора U , A ∪ U = U .

Другие личности, связанные с Союзом

Есть еще много наборов идентификаторов, в которых используется операция объединения. Конечно, всегда полезно практиковаться, используя язык теории множеств.Некоторые из наиболее важных излагаются ниже. Для всех наборов A , B и D мы имеем:

• Рефлексивное свойство: A ∪ A = A
• Коммутационная собственность: A B = B ∪ A
• Ассоциативное свойство: ( A ∪ B ) ∪ D = A ∪ ( B ∪ D )
• Закон ДеМоргана I: ( A ∩ B ) ^C = A ^C ∪ B ^C
• Закон ДеМоргана II: ( A ∪ B ) ^C = A ^C ∩ B ^C

Что такое символы диаграммы Венна — с примерами

Этот пост был первоначально опубликован 11 сентября 2018 г. и последний раз обновлялся 26 июля 2020 г.

Когда вы оглядываетесь на диаграммы Венна, которые вы создали в начальной школе, у вас, вероятно, остались приятные воспоминания о том, какие типы шоколадных батончиков нравились вам и вашим друзьям, или о сравнении ваших любимых героев фильмов. Хотя вы, возможно, думали, что дни построения диаграмм Венна давно остались позади, эти инструменты на самом деле пригодятся в зрелом возрасте. Фактически, математики и родственные профессии используют их для представления сложных взаимосвязей и решения математических задач все время.

Конечно, объекты, изучаемые на профессиональных диаграммах, обычно не являются шоколадными батончиками или персонажами фильмов. И вам нужно понять гораздо больше, чтобы использовать их эффективно. Чтобы полностью погрузиться в мир профессиональных диаграмм Венна, вы должны иметь базовое понимание раздела математической логики, называемого «теорией множеств», и связанных с ней символов и обозначений.

Используя теорию множеств, исследователи и математики заложили основы многих математических понятий, включая разнообразные наборы структур, отношений и теорем, которые могут применяться в различных областях исследования, включая топологию, абстрактную алгебру и дискретную математику.

Используя основы, которые мы рассмотрим здесь, вы также можете начать использовать диаграммы Венна более сложными способами.

Обозначения диаграммы Венна

Хотя в теории множеств используется более 30 символов, вам не нужно запоминать их все, чтобы начать. Фактически, следующие три являются идеальной основой.

Символ союза ∪

Диаграммы Венна состоят из серии перекрывающихся кругов, каждый из которых представляет категорию. Чтобы представить объединение двух множеств, мы используем символ ∪ — не путать с буквой ‘u.’

В приведенном ниже примере у нас есть круг A зеленого цвета и круг B фиолетового цвета. Эта диаграмма представляет собой объединение A и B, которое мы обозначим как A ∪ B.

Давайте на мгновение вернемся к тем дням в начальной школе на примере шоколадных батончиков. Если бы в круге A были люди, которым нравились батончики Snickers, а в круге B — люди, которым нравились батончики 3 Musketeers, то A ∪ B представляли людей, которым нравятся Snickers, 3 Musketeers или оба.

Обозначение перекрестка ∩

Область пересечения двух наборов — это то место, где объекты разделяют обе категории.В нашем примере диаграмма бирюзовая область (где зеленый и фиолетовый перекрываются) представляет собой пересечение точек A и B, которое мы обозначили как A ∩ B.

На этом перекрестке мы найдем людей, которым нравятся и Snickers, и 3 Musketeers.

Дополнительный символ A

Категории, не представленные в наборе, называются дополнением набора. Чтобы представить дополнение набора A, мы используем символ A ^c .

Для представления абсолютного дополнения набора, т.е.е., все, что не входит в набор, мы используем уравнение A ^c = U \ A, где буква «U» представляет данную вселенную. Это уравнение означает, что все во Вселенной, кроме A, является абсолютным дополнением к A в U.

Серая часть нашего примера диаграммы представляет все, что находится за пределами A.

Если использовать наш пример с шоколадным батончиком, это будет представлять всех, кто не любит Snickers.

Другой пример

Давайте попробуем новый пример. Допустим, мы планируем вечеринку на работе и пытаемся понять, какие напитки подать.Мы спрашиваем трех человек, какие напитки они любят. Когда мы спрашиваем, вот что мы получаем:

Используя трехкружную диаграмму Венна, мы можем охватить все возможности.Каждый человек представлен в виде круга, который обозначается буквами A, B и C. Используя символ ∩, мы можем показать, где должны быть размещены пересечения между множествами.

Когда мы заполняем диаграмму нашими данными, мы размещаем каждый объект в соответствии с формулами, которые мы указали выше. Например, мы помещаем мартини в область B C, потому что респонденты B и C указали, что они им нравятся. Поскольку ром и кока-кола и джин-тоник не были выбраны никем, они не входят в какой-либо круг. Однако, поскольку они все еще существуют и доступны во вселенной, их можно поместить в белое пространство.

Вот наша последняя диаграмма:

Понятно, что вино — лучший выбор для нашей предстоящей вечеринки. Пиво, мартини и старомодные напитки могут быть хорошими вторичными напитками, но к ним, вероятно, не следует подавать ром с кока-колой или джин с тоником.

Примеры диаграмм Венна

Использование всех этих версий с усвоенными вами символами должно послужить отличным началом для построения диаграмм Венна, которые помогут вашей команде. Используйте серию шаблонов диаграмм Венна на Cacoo в качестве отправной точки.

Вот еще несколько примеров, пока вы продолжите:

Как читать диаграмму Венна

Теперь, когда вы знаете все о том, как построить диаграмму Венна и включили официальную терминологию и символы, вы должны понять, как правильно ее читать.

Путем реверс-инжиниринга вы можете взять информацию, уже имеющуюся на диаграмме, чтобы увидеть, где будут располагаться символы и уравнения, которые мы выложили. Независимо от того, сколько вариантов добавлено, вы знаете, в чем их сходство или предпочтения, а также различия между тем, какие элементы в конечном итоге оказываются внутри и за пределами диаграммы.

Теория множеств

Хотя мы могли бы очень глубоко изучить теорию множеств (всегда есть чему поучиться), подходящим способом завершить урок по диаграммам Венна является изучение некоторой теории, лежащей в основе этих диаграмм.

Набор — это группа или набор вещей, также называемых элементами. Эти элементы действительно могут быть чем угодно. В приведенном выше примере набор — это выбор, который безымянная группа сделала для своих предпочтений по напиткам.

В теории множеств мы бы записали это вместо этого в виде уравнения, перечислив все элементы в фигурных скобках:

{человек 1, человек 2, человек 3, человек 4,…}

Поскольку вопрос в примере состоит в том, какой напиток они предпочитают, эти люди в конечном итоге делятся на группы по своему выбору:

Старомодный = {X человек}

Мартини = {X человек}

Пиво = {X человек}

Ром и кокс = {X человек}

Джин-тоник = {X человек}

Поскольку мы предлагаем пять различных вариантов напитков, мы получаем пять отдельных наборов, которые затем представлены на диаграмме Венна.

Заключительные мысли

Для ясности здесь мы остановились на основных примерах, но есть гораздо больше информации, которую вы можете использовать для более глубокого изучения теории множеств. На самом деле, статья в Стэнфордской энциклопедии по теории множеств — отличное место для начала.

По мере того, как вы исследуете все более заданные взаимосвязи, визуализация вашей работы с помощью диаграмм Венна — мощный и простой способ с легкостью передать эти взаимосвязи.

Когда вы будете готовы приступить к созданию собственных диаграмм Венна, остановитесь на нашем облачном инструменте построения диаграмм Cacoo.Наша библиотека форм может помочь вам легко создавать диаграммы с нуля, или вы можете начать с одного из наших сотен готовых шаблонов, чтобы просто вставить свою информацию и начать.

Брэнди Гратис Брэнди — менеджер по контент-маркетингу в Nulab, создателе Cacoo, Backlog и Typetalk. Она регулярно вносит и редактирует контент для всех веб-сайтов и блогов Nulab.

Что такое алгебра? | История алгебры

Алгебра — это раздел математики, имеющий дело с символами и правилами манипулирования этими символами. В элементарной алгебре эти символы (сегодня они пишутся латинскими и греческими буквами) представляют величины без фиксированных значений, известные как переменные. Подобно тому, как предложения описывают отношения между конкретными словами, в алгебре уравнения описывают отношения между переменными. Возьмем следующий пример:

У меня есть два поля общей площадью 1800 квадратных ярдов.Урожайность на каждом поле составляет галлона зерна с квадратного ярда и ½ галлона с квадратного ярда. Первое поле дало на 500 галлонов больше, чем второе. Каковы площади каждого поля?

Распространено мнение, что подобные задачи были придуманы, чтобы мучить студентов, и это может быть недалеко от истины. Эта задача почти наверняка была написана, чтобы помочь учащимся понять математику, но что в ней особенного, так это то, что ей почти 4000 лет! Согласно Жаку Сезиано в «Введение в историю алгебры» (AMS, 2009), эта проблема основана на вавилонской глиняной табличке около 1800 г. до н. Э.C. (НДС 8389, Музей Древнего Ближнего Востока). Начиная с древней Месопотамии, алгебра играет центральную роль во многих достижениях науки, техники и цивилизации в целом. Язык алгебры значительно изменился на протяжении истории всех цивилизаций, чтобы унаследовать его (включая нашу собственную). Сегодня мы запишем задачу так:

x + y = 1,800

⅔ ∙ x — ½ ∙ y = 500

Буквы x и y обозначают площади полей. Первое уравнение понимается просто как «сложение двух областей дает общую площадь 1800 квадратных ярдов.«Второе уравнение более тонкое. Так как x — это площадь первого поля, а урожайность первого поля составляла две трети галлона на квадратный ярд», ⅔ ∙ x — означает «две трети, умноженные на x» — представляет собой общее количество зерна, произведенное на первом поле. Точно так же «½ ∙ y» представляет общее количество зерна, произведенное на втором поле. Поскольку первое поле дало на 500 галлонов зерна больше, чем второе, разница (следовательно, вычитание) между зерном первого поля (⅔ ∙ x) и зерном второго поля (½ ∙ y) составляет (=) 500 галлонов.

Выскакивает ответ

Конечно, сила алгебры не в кодировании утверждений о физическом мире. Компьютерный ученый и писатель Марк Джейсон Доминус пишет в своем блоге «Вселенная дискурса»: «На первом этапе вы переводите проблему в алгебру, а затем на втором этапе вы почти механически манипулируете символами, пока не появится ответ, как если бы по волшебству «. Хотя эти правила манипуляции основаны на математических принципах, новизна и непоследовательный характер «поворота рукоятки» или «затыкания и пыхтения» была замечена как многими студентами, так и профессионалами.

Здесь мы решим эту проблему, используя методы, которым их учат сегодня. И как отказ от ответственности, читателю не нужно понимать каждый конкретный шаг, чтобы понять важность этой общей техники. Я намерен сделать так, чтобы историческое значение и тот факт, что мы можем решить проблему без каких-либо предположений, вдохновят неопытных читателей узнать об этих шагах более подробно. Вот снова первое уравнение:

x + y = 1,800

Мы решаем это уравнение относительно y, вычитая x из с каждой стороны уравнения :

y = 1,800 — x

Теперь мы вводим второе уравнение:

⅔ ∙ x — ½ ∙ y = 500

Поскольку мы обнаружили, что «1,800 — x» равно y, это может быть , замененное во второе уравнение:

⅔ ∙ x — ½ ∙ (1,800 — x) = 500

Затем распределяет отрицательную половину (–½) по выражению «1,800 — x»:

⅔ ∙ x + (–½ ∙ 1,800) + (–½ ∙ –x) = 500

Этот упрощает до:

⅔ ∙ x — 900 + ½ ∙ x = 500

Сложите две доли x вместе и прибавьте 900 к с каждой стороны уравнения :

(7/6) ∙ x = 1,400

Теперь разделите с каждой стороны уравнения на 7/6:

x = 1,200

Таким образом, первое поле имеет площадь 1200 квадратных ярдов.Это значение может быть заменено в первое уравнение для определения y:

(1,200) + y = 1,800

Вычтем 1,200 из с каждой стороны уравнения , чтобы найти y:

y = 600

Таким образом, второе поле имеет площадь 600 квадратных ярдов.

Обратите внимание, как часто мы используем технику выполнения операций с каждой стороной уравнения . Эту практику лучше всего понимать как визуализацию уравнения в виде шкалы с известным весом с одной стороны и неизвестным весом с другой.Если мы добавляем или вычитаем одинаковое количество веса с каждой стороны, весы остаются сбалансированными. Точно так же весы остаются сбалансированными, если мы умножаем или делим веса поровну.

В то время как техника сбалансирования уравнений почти наверняка использовалась всеми цивилизациями для развития алгебры, использование ее для решения этой древней вавилонской проблемы (как показано выше) является анахронизмом, поскольку этот метод был центральным в алгебре только последние 1200 лет.

До средневековья

Алгебраическое мышление претерпело существенную реформу после развития ученых Золотого века ислама.До этого момента цивилизации, унаследовавшие вавилонскую математику, практиковали алгебру, используя все более сложные «процедурные методы». Далее Сесиано поясняет: «Студенту нужно было запомнить небольшое количество [математических] отождествлений, и искусство решения этих задач заключалось в преобразовании каждой проблемы в стандартную форму и вычислении решения». (Кстати, ученые из Древней Греции и Индии действительно практиковали символический язык, чтобы узнать о теории чисел.)

Индийский математик и астроном Арьябхата (А.D. 476-550), написал одну из самых ранних известных книг по математике и астрономии, которую современные ученые называют «Арьябхатия». (Арьябхата сам не назвал свою работу.) По данным Университета Сент-Эндрюс, Шотландия, работа представляет собой «небольшой астрономический трактат, состоящий из 118 стихов, дающий краткое изложение индуистской математики того времени».

Вот образец письма Арьябхаты на санскрите. Это стих 2.24, «Количества из их различия и произведения»:

Согласно Крипе Шанкару Шукле в «Арьябхатия Арьябхата» (Индийская национальная академия наук Нью-Дели, 1976), этот стих примерно переводится как:

2.24: To Определите две величины из их разницы и произведения, умножьте произведение на четыре, затем сложите квадрат разницы и извлеките квадратный корень. Запишите этот результат в два слота. Увеличьте первый слот на разницу и уменьшите второй на разницу.Разрежьте каждую прорезь пополам, чтобы получить значения двух величин.

В современных алгебраических обозначениях мы записываем разницу и произведение следующим образом:

x — y = A (разница)

x ∙ y = B (product)

Затем процедура записывается следующим образом:

x = [√ (4 ∙ B + A ² ) + A] / 2

y = [√ (4 ∙ B + A ² ) — A] / 2

Это вариант формулы квадратичного уравнения. Подобные процедуры появились еще в Вавилонии и представляли состояние алгебры (и ее тесные связи с астрономией) на протяжении более 3500 лет во многих цивилизациях: ассирийцы в 10 веке до нашей эры.C .; Халдеи в седьмом веке до нашей эры; Персы в шестом веке до нашей эры; Греки, в четвертом веке до нашей эры; Римляне в первом веке нашей эры; и индейцы, в пятом веке нашей эры.

Хотя такие процедуры почти наверняка возникли в геометрии, важно отметить, что оригинальные тексты каждой цивилизации абсолютно ничего не говорят о том, как такие процедуры были определены , и не было предпринято никаких усилий, чтобы показать . доказательство их правильности.Письменные записи, посвященные этим проблемам, впервые появились в средние века.

Юность алгебры

Золотой век ислама, период с середины седьмого до середины 13 века, ознаменовал распространение греческой и индийской математики в мусульманском мире. В 820 году нашей эры Аль-Хваризми, преподаватель Багдадского Дома Мудрости, опубликовал «Аль-джабр ва’л мукабала», или «Сборную книгу по расчетам путем завершения и уравновешивания». От слова «аль-джабр» происходит слово «алгебра».Аль-Хваризми также разработал быстрые методы умножения и деления чисел, известные как алгоритмы — искажение его имени. Он также предложил использовать маленький кружок в вычислениях, если числа не появляются в разрядах десятков — таким образом, изобретая ноль

Впервые с момента своего создания практика алгебры сместила акцент с , применяя процедурные методы , в сторону средств доказательства и вывода таких методов с использованием геометрии и техники выполнения операций с каждой стороны уравнение.Согласно Карлу Б. Бойеру в «Истории математики, 3-е изд.» (2011, Wiley) Аль-Хваризми счел «необходимым, чтобы мы геометрически продемонстрировали истинность тех же проблем, которые мы объяснили в числах».

Средневековые мусульманские ученые записывали уравнения в виде предложений в соответствии с традицией, ныне известной как риторическая алгебра . В течение следующих 800 лет алгебра развивалась по спектру риторического и символического языка, известному как синкопированная алгебра . Общеевразийское наследие знаний, включая математику, астрономию и навигацию, проникло в Европу между 11 ^-м и 13 ^-м веками, в основном через Пиренейский полуостров, который был известен арабам как Аль-Андалус.Конкретными точками передачи в Европу были завоевание Толедо испанскими христианами в 1085 году, повторное владение Сицилией в 1091 году норманнами (после исламского завоевания в 965 году) и битвы крестоносцев в Леванте с 1096 по 1303 год. христианских ученых, таких как Константин Африканский (1017–1087), Аделард Батский (1080–1152) и Леонардо Фибоначчи (1170–1250), путешествовали по мусульманским землям, чтобы изучать науки.

Созревание

Полностью символическая алгебра — как показано в начале статьи — не будет узнаваема до научной революции.Рене Декарт (1596–1650) использовал алгебру, которую мы узнали бы сегодня в его публикации 1637 года «Геометрия», которая впервые применила практику построения графиков алгебраических уравнений. Согласно Леонарду Млодинову в «Окне Евклида» (Free Press, 2002), «геометрические методы Декарта были настолько важны для его понимания, что он написал, что« вся моя физика есть не что иное, как геометрия »». Алгебра отошла от своей процедурной геометрический партнер 800 лет назад, превратившийся в символический язык, прошел полный круг.

Дополнительные ресурсы

Что означает E в математике?

Обновлено 20 декабря 2020 г.

Крис Дезил

Буква E может иметь два разных значения в математике, в зависимости от того, заглавная это E или строчная e. Обычно вы видите заглавную букву E на калькуляторе, что означает возведение числа, следующего за ней, в степень 10. Например, 1E6 будет означать 1 × 10 ⁶ , или 1 миллион. Обычно использование E зарезервировано для чисел, которые были бы слишком длинными для отображения на экране калькулятора, если бы они были записаны от руки.

Математики используют строчную букву e для гораздо более интересной цели — для обозначения числа Эйлера. Это число, как и π, является иррациональным числом, потому что оно имеет неповторяющуюся десятичную дробь, которая простирается до бесконечности. Как и у иррационального человека, иррациональное число кажется бессмысленным, но число, которое обозначает e, не обязательно должно иметь смысл, чтобы быть полезным. Фактически, это одно из самых полезных чисел в математике.

E в экспоненциальной нотации и значение 1E6

Вам не нужен калькулятор, чтобы использовать E для выражения числа в экспоненциальной нотации.Вы можете просто позволить E обозначать базовый корень экспоненты, но только когда база равна 10. Вы не можете использовать E для обозначения базы 8, 4 или любой другой базы, особенно если в основе лежит число Эйлера, e.

Когда вы используете E таким образом, вы пишете число x E y , где x — это первый набор целых чисел в числе, а y — показатель степени. . Например, вы можете записать число 1 миллион как 1E6. В обычном научном представлении это 1 × 10 ⁶ , или 1, за которой следуют 6 нулей.Точно так же 5 миллионов будут 5E6, а 42 732 — 4,27E4. При написании числа в научном представлении, независимо от того, используете ли вы E или нет, вы обычно округляете до двух десятичных знаков.

Откуда взялось число Эйлера e?

Число, представленное буквой e, было обнаружено математиком Леонардом Эйлером как решение проблемы, поставленной другим математиком, Якобом Бернулли, 50 лет назад. Проблема Бернулли была финансовой.

Предположим, вы кладете 1000 долларов в банк, который выплачивает 100% годовых по сложным процентам, и оставляете их там на год.n

, где r — 1, а n — период платежа.

Получается, что по мере приближения n к бесконечности результат становится все ближе и ближе к e, которое составляет 2,7182818284 с точностью до 10 знаков после запятой. Вот как это открыл Эйлер. Максимальная прибыль, которую вы могли бы получить от инвестиции в размере 1000 долларов в год, составила бы 2718 долларов.

Число Эйлера в природе

Показатели с основанием e известны как естественные показатели, и вот почему. x

, вы получите кривую, которая возрастает экспоненциально, как если бы вы построили кривую с основанием 10 или любым другим числом.{bθ}

встречается в природе в ракушках, окаменелостях и цветах. Более того, e появляется во многих научных контекстах, включая исследования электрических цепей, законов нагрева и охлаждения, а также демпфирования пружин. Несмотря на то, что оно было открыто 350 лет назад, ученые продолжают находить новые примеры числа Эйлера в природе.

Преподавание абсолютного значения числа в математике

Урок 2: Разработка концепции

Материалы: Каталожные карточки или цифровые «карточки», которые могут быть распределены среди класса

Стандарты:

• Под абсолютным значением рационального числа понимается его расстояние от 0 на числовой прямой.(6.NS.C.7.C)

Подготовка: Сделайте карточки для У меня есть… У кого есть?

Заключительная и оценочная игра

• Попросите учащихся написать и поделиться своими определениями и примерами из реальной жизни ситуаций абсолютной ценности.
• Играть У меня … у кого есть? Составьте набор из 15 учетных карточек с уравнениями абсолютных значений и 15 учетных карточек, содержащих значения переменной. Если учетные карточки недоступны или вы адаптируете это для удаленного обучения, создайте способ, чтобы 30 приведенных ниже уравнений были распределены среди ваших учеников как можно более равномерно.

Каждая указанная карта абсолютного значения имеет два значения: x .Эти значения перекрываются, так что каждая карта значений переменных удовлетворяет двум из заданных уравнений абсолютного значения (первое и второе значения удовлетворяют первому уравнению, второе и третье значения удовлетворяют второму уравнению и т. Д., Пока последнее и первое значения не удовлетворяют условиям последнее уравнение).

Распределите карточки или уравнения поровну. Убедитесь, что все они были розданы. Выберите ученика, который скажет «У меня есть», а затем прочтите значение или уравнение на его карточке. Затем попросите учащегося сказать: «У кого есть совпадение для моей карты?» Любой ученик, у которого есть совпадение, должен сказать: «У меня есть… у кого есть…», и игра продолжается до тех пор, пока не будут прочитаны все карточки.Вы можете попросить учеников встать, когда игра начинается, и сесть, когда они предлагают ответ. Чтобы заинтересовать всех, предложите награду за успешное прохождение игры, поощряя вызовы к подозрительным ответам.

***

Ищете другие бесплатные уроки математики и мероприятия для учеников средней школы? Обязательно ознакомьтесь с нашим центром бесплатных учебных ресурсов.

Что такое сигма? — Определение и концепция — Видео и стенограмма урока

Верхний регистр сигма

Верхний регистр сигма используется в обозначении суммирования.Это конкретное обозначение также называется сигма-обозначением.

Эта конкретная формула, как следует из ее названия, говорит вам суммировать функцию, вычисленную в определенных точках, определяемых маленькими числами вверху и под большой сигмой. Он используется для сложения ряда чисел.

Скорее всего, вы увидите, что это используется для суммирования функции, оцениваемой в определенных точках. В реальном мире это можно использовать для определения процентов, которые вы зарабатываете за определенный период времени, если у вас есть деньги, сохраненные на процентном счете в финансовом учреждении.

При выполнении математических задач вы чаще всего будете видеть это в сочетании с функциями различных типов. Примером является суммирование f (n) = 1/ n , оцененных как 1, 2, 3 и 4.

Маленькие числа сверху и снизу большой сигмы определяют начальное и конечное значения оценки. Вы можете видеть, что мы подставили значения 1, 2, 3 и 4 в n в формуле, чтобы оценить каждое из значений, а затем просуммировали все это.

Суммирование или сигма-запись довольно проста и понятна. Попробуйте использовать несколько знакомых вам функций, чтобы лучше понять, как они работают. Попробуйте также разные начальные и конечные значения.

Строчная сигма

Строчная сигма используется для формулы стандартного отклонения в статистике.

Если вы раньше не копались в статистике, добро пожаловать! Не позволяйте этой огромной формуле пугать вас.Буква, которая выглядит как буква «u», но с более длинной линией, является греческой буквой «му», и в этой формуле она обозначает среднее или среднее значение ряда чисел. x с нижним индексом i обозначает каждое число в серии. Скажем, например, последовательность чисел выглядит так: 5, 2, 8 и 1. Число суб 1 x равно 5, а число суб 3 x равно 8. Вы видите, как это работает? В этой конкретной серии у нас только четыре числа, поэтому наш N равен 4.

Хотя приведенный выше пример может показаться пугающим, на самом деле это не так. Если вы разделите его на части, вы увидите, что все, что мы сделали, — это подключи и работай. Мы включили наши числа в уравнение, которому они принадлежат, и решаем его шаг за шагом, упрощая по мере продвижения.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Первая и наиболее распространенная формула, относящаяся к символу сигма , — это запись суммирования с использованием сигмы верхнего регистра.Менее распространенная формула для стандартного отклонения используется в статистике. Эта вторая формула использует сигму в нижнем регистре.