Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств
Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.
Простейшие случаи
Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.
Определение 1Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.
Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.
Из указанных определений логически следуют следующие правила:
— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;
— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.
Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.
Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.
Пример 1Исходные данные: числовые множества А = {3, 5, 7, 12} и В = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множес
zaochnik.com
Что такое пересечение, объединение и разность множеств?
☰
Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.
Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.
Пересечение множеств записывается так:
A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.
Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.
Пересечение множеств может использоваться тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.
Объединением двух множеств, называется третье множество, сформированное из всех элементов обоих первых множеств. При этом если элемент входит в оба множества, то в объединенное он входит один раз. Это и понятно, так как множество по определению включает только разные элементы.
Например, объединением множества натуральных чисел от 1 до 10 и множества натуральных от 5 до 15 будет множество натуральных чисел от 1 до 15.
Объединение множеств описывается так:
A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств обозначается всей областью кругов.
Разностью двух множеств, называют третье множество, в которое входят все элементы одного из двух множеств и не входят элементы принадлежащие обоим множествам.
Если результат пересечения и объединения двух множеств не меняется от перестановки множеств при выполнении операции, то результат разности зависит от того, какое множество из какого «вычитают».
Сравните. Даны множества A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,8,9}. Разность множеств обозначается знаком \.
A \ B = {1,2,3}, т. к. 4 и 5 входят в множество B.
В то время как B \ A = {8,9}.
Понятно, что если у множеств нет общих элементов, то их разность будет равна «уменьшаемому», т. е. первому множеству. Если же множества полностью совпадают, то их разностью будет пустое множество.
Если все элементы «вычитаемого» множества B входят в состав «уменьшаемого» A (A \ B), то B называют дополнением некого множества C до A.
элементы и подмножества. Пересечение и объединение множеств
Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N – множество натуральных чисел
Z – множество целых чисел
Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈
. Запись
5∈Z
читается так:
или 5 – элемент множества Z
.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
L = {2, 4, 6, 8}
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются
Подмножество
Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂
:
L⊂M
Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M
.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =
.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩
.
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L∩M = {3, 11}.
Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M
.
Из данного примера следует, что
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪
.
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},
то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.
Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M
.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
если L = M, то L∪M = L и L∪M = M.
naobumium.info
Какой значок в геометрии обозначает пересечение?
на клаве к сжалению такоко значка нет, но попробую объяснить: переверни U наоборот, мы этот знак «радугой» называем=)))
подкова, только кверх ногами!
U-это знак объединения, переверни-получится знак пересечения
спасибо, выручили
Этот знак используется не только в геометрии и изображается ∩
∩ — знак пересечения
∩ радуга, арка, подкова верх ногами.
∩ это пересечение U это обьеденение
U так только переверни
touch.otvet.mail.ru
3. Законы пересечения и объединения множеств
Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.
Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:
Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: А и .
Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.
Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
(
А
С
В
С,
С
С.
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)
3. Закон пересечения множеств: ( А С В С
В выражении ( А С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество ( А С.
П
редставим
теперь наглядно множество
В
С. (См.
рис.4) В соответствии с указанным порядком
действий сначала надо найти пересечение
множеств В и С – на рисунке оно показано
вертикальной штриховкой, а затем
выполнить пересечение множества А с
полученным множеством. Если отметить
множество А горизонтальной штриховкой,
то область, заштрихованная дважды, и
будет изображать множество
В
С.
Видим, что области, представляющие на
рисунке множества ( А
С и
В
С
), одинаковы, что и подтверждает
справедливость свойства ассоциативности
для пересечения множеств.
Рис. 4.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:
можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;
на основании этого свойства в выражениях ( А С, В С, С , С можно опускать скобки и писать А С или С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство С С.
Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества С содержится в множестве С, и наоборот.
Пусть х – любой элемент множества С. Тогда, по определению объединения, х или хС.
Если х , то, по определению объединения, х А или х В. В том случае, когда х А, то, также по определению объединения, х С.
Если х В, то имеем, что х С, а значит, х С. Случай, когда х А и х В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х , следует, что х С.
Если х С, то, по определению объединения, х В С, и следовательно, х С.
Случай, когда х и х С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества С содержится и в множестве С, т.е. С С.
2. Пусть у — любой элемент множества С. Тогда, по определению объединения, уА или у С.
Если у А, то, по определению объединения, у С.
Если у С, то у или у С. В том случае, когда у , то у и, значит, у С. Когда же у С, то у С. Случай, когда у В и у С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества ( С) содержится и в множестве ( ) С, т.е. ( С) ( ) С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что С С, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А С = (А С) ( В С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А С = (А С) ( В С ).
Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
studfile.net
существует ли знак пересечения в геометрии? если да то как он выглядит?
∩ пересечение
Да. Как перевернутый знак объединения U.
Как горка) ) так же как объединение, но наоборот
U, только перевёрнутая
Этот знак используется не только в геометрии и изображается ∩
∩ — знак пересечения
∩ — знак пересечения
∩ — знак пересечения
В геометрии существует знак пересечения. Он обозначается, так ∩
∩ — знак пересечения
выше сказанное верно
Есть такой знак. Похож на подкову
Ответ: ∩ — знак пересечения в геометрии.
знак пересечения выглядит вот так п
Он выглядит в форме подковы
touch.otvet.mail.ru