Содержание

Символ среднего значения

Среднее арифметическое

У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) множества чисел — сумма всех чисел, делённая на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами[1].

Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

Введение

Обозначим множество данных X = (x1, x2, …, xn), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной ( x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} , произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n ( x 1 + ⋯ + x n ) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).

Примеры
  • Для трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}

  • Для четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}

Или проще 5+5=10, 10:2. Потому что мы складывали 2 числа, а значит, сколько чисел складываем, на столько и делим.

Непрерывная случайная величина

Для непрерывно распределённой величины f ( x ) {\displaystyle f(x)} среднее арифметическое на отрезке [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} определяется через определённый интеграл:

f ( x ) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}

Некоторые проблемы применения среднего

Отсутствие робастности

Основная статья: Робастность в статистике

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число

zna4enie.ru

Формулы

Рис 1

В верхнем ряду панели инструментов
редактора формул расположены кнопки
для вставки в формулу более 150 математических
символов. Для вставки символа в формулу
следует нажать кнопку в верхнем ряду
панели инструментов, а затем выбрать
определенный символ из палитры под
кнопкой.

В нижнем ряду панели инструментов
редактора формул расположены кнопки,
предназначенные для вставки шаблонов
или структур, включающих символы типа
дробей, радикалов, сумм, интегралов,
произведений, матриц или различных
скобок или соответствующие пары символов
типа круглых и квадратных скобок. Многие
шаблоны содержат специальные поля,
предназначенные для ввода текста и
вставки символов. В редакторе формул
имеется около 120 шаблонов, сгруппированных
в палитры. Шаблоны можно вкладывать
один в другой для построения сложных
многоступенчатых формул.

Для вставки в формулу математических
символов используется верхний ряд
кнопок панели инструментов редактора
формул. С помощью этих кнопок можно
вставить в формулу более 150 математических
символов.

Таблица
1

Вставка
символов отношений в формулу

Вставка
пробелов и многоточий в формулу

Добавление
надстрочных знаков в формулу

Вставка
операторов в формулу

Вставка
стрелок в формулу

Вставка
логических символов в формулу

Вставка
символов теории множеств в формулу

Вставка
разных символов в формулу

Вставка
греческих букв в формулу

Кнопки в нижнем ряду панели инструментов
редактора формул предназначены для
вставки в формулу математических
шаблонов, таких как дроби, радикалы,
суммы, интегралы, произведения и различные
виды скобок.

Таблица
2

Вставка
в формулу шаблонов разделителей

Вставка
шаблонов дробей и радикалов в формулу

Создание
в формуле верхних и нижних индексов

Создание
сумм в формуле

Вставка
интеграла в формулу

Создание
математических выражений с чертой
сверху и снизу

Создание
стрелок с текстом в формуле

Вставка
произведений и шаблонов теории
множеств в формулу

Вставка
шаблонов матриц в формулу

Задание
А

Справа
от образцов наберите следующие формулы:

В редакторе формул не работает клавиша
ПРОБЕЛ, поскольку
необходимые интервалы между символами
возникают автоматически. Если же
необходимость ввода пробела все-таки
возникает, их можно вводить с помощью
кнопкиПробелы и
многоточияпанели инструментовФормула(см. Табл.1).

С помощью символов пробелов можно
вставить в формулу пробелы пяти размеров.
Они служат для изменения автоматически
установленных интервалов.

Если возникает необходимость изменить
интервалы при вводе формулы, то следует
установить курсор в место изменения
интервала, а затем выбрать один из
символов палитры «Пробелы и многоточия»,
приведенных в таблице 3.

Таблица
3

Символ

Описание

Нулевой
пробел

Пробел
1 пт

Короткий
пробел (одна шестая часть длинного
пробела)

Средний
пробел (одна третья часть длинного
пробела)

Длинный
пробел

В палитре кнопки Пробелы
и многоточияесть символ выравнивания.
Этот символ выравнивает несколько строк
в стопке формул. Поместите символ в
каждой строке в том месте, по которому
ее следует выровнять. Строки будут
сдвинуты таким образом, чтобы символы
выравнивания располагались друг над
другом.

Символы выравнивания отображаются на
экране только в окне редактора формул.
В документе же они не видны и на печать
не выводятся.

Задание
Б

Попробуйте самостоятельно разобраться
в технологии использования кнопки
Пробелы и многоточияна примере ввода следующих формул (свои
формулы введете в таблицу под образцом):

Подсказка

  1. После знака
    суммы ввести длинный пробел, используя
    кнопку Пробелы и многоточия верхней
    части панели инструментов редактора
    формул. После круглых скобок ввести
    средний пробел.

  2. Обе
    формулы выровнять по знаку «равно».

Примечание.
Чтобы выровнять формулы по знаку
равенства, можно выделить их, а затем
выбрать команду Выровнять по = в меню
Формат.

Многоточие указывает на пропуск
элементов, которые, как правило, могут
быть легко восстановлены из контекста.
В редакторе формул существуют
горизонтальное, вертикальное и
диагональное многоточия, которые можно
использовать в соответствующих случаях.

Многоточия целесообразно использовать
при создании векторов и матриц, например
при создании матрицы общего вида.

В такой матрице можно ввести шаблон
матрицы 4*4 в круглых скобках и заполнить
ее поля символами выравнивания и
соответствующими символами многоточия
(рис. 3).

Рис. 3

Задание
В

Справа
от образцов наберите следующие матрицы:

В редакторе формул размер символа
определяется его назначением в формуле,
например, тем, является ли символ нижним
индексом или символом экспоненты.

Каждому полю в формуле соответствует
некоторый размер. Символ при вводе в
поле принимает размер поля.

Размер символа в формуле можно изменить
на любой из стандартных размеров, либо
задать точный размер символа,
последовательности символов или символа
шаблона в пунктах.

Выбор стандартного типа размера:

  1. Выделите нужные
    элементы.

  2. Выберите
    один из пяти стандартных размеров в
    меню Размер.
    Значения стандартных размеров можно
    посмотреть, выбрав командуРазмер
    – Определить (рис 4).

Рис.4

Примечание.
В правой части окна этой команды приведен
образец выбранного символа. Выбрав в
окне команды Размер один из стандартных
размеров, с помощью образца можно сразу
выяснить, к какому типу символов он
будет применен.

  1. Выделите формулу
    для редактирования.

  2. Выделите нужные
    элементы.

  3. Выберите команду
    Другой в менюРазмер.

  4. В поле Размер
    введите размер элемента в пунктах (от
    2 до 127). (В одном пункте — 0,352 мм.)

  5. Нажмите кнопку
    OK.

Задание
В

В записанной ниже
формуле установите размер основных
символов 20 пт, размер подстрочных/надстрочных
12 пт. Для этого:

  1. Двойным щелчком
    выделите формулу для редактирования.

  2. Выделите нужный
    символ или группу символов.

  3. Выберите Размер
    – Другой.

  4. В появившемся окне
    укажите нужный размер.

  5. Нажмите кнопку
    ОК, чтобы принять внесенные изменения.

Изменяя определение типа размера, можно
быстро выбрать размер всех символов
указанного типа. Для переопределения
стандартных типов размера используется
команда меню Размер —
Определить.

  1. Двумя
    щелчками выделите формулу для
    редактирования.

  2. Выберите
    команду Определить в
    меню Размер.

  3. В
    списке укажите нужный тип символов. В
    правой части диалогового окна команды
    Определить отображаются
    символы, на которые повлияют внесенные
    изменения.

  4. Введите
    новый размер выбранного типа символов.

По умолчанию размер задается в пунктах.
Для изменения единицы измерения добавьте
к числу одно из сокращений, приведенных
в таблице 4.

Таблица
4

Единица
измерения

Сокращение

Дюйм

«

Сантиметр

см

Миллиметр

мм

Пункт

пт

Для предварительного просмотра вносимых
изменений нажмите кнопку Применить.
Чтобы восстановить прежние размеры,
нажмите кнопкуПо
умолчанию Чтобы принять внесенные
изменения, нажмите кнопкуОК.

Изменения, которые вносятся в окне
Размеры, будут
отражены только в открытой формуле. В
формулах других документов они будут
учтены только при изменении этих формул.

Задание
В

Наберите
следующую формулу:

Отредактируйте,
установив следующие размеры символов:

обычные
символы– 16 пт;

крупный
индекс – 9 пт;

крупный
символ – 24 пт

Для
этого:

  1. Двойным
    щелчком выделите формулы для
    редактирования.

  2. Для
    изменения типов размеров выберите
    команду меню Размер
    – Установить.

  3. Измените
    типы размеров нужных символов.

  4. После
    предварительного просмотра (кнопка
    Применить), нажмите
    кнопку ОК, чтобы принять внесенные
    изменения.

  1. Для
    выполнения каких операций предназначен
    редактор формул MicrosoftEquation?

  2. Можно
    ли с помощью редактора MicrosoftEquationвыполнять вычисления?

  3. Для
    чего предназначен верхний ряд панели
    инструментов MicrosoftEquation? Нижний ряд?

  4. При
    вводе формулы часть этой формулы можно
    ввести без использования редактора
    MicrosoftEquation.
    Следует ли предпочитать этот способ?
    Почему?

  5. Можно
    ли изменить размер отдельного символа?
    Категории? Можно ли изменить стандартный
    размер символов, установленный по
    умолчанию?

  • Если
    Вы выполнили все задания и готовы
    отвечать на вопросы из приведенного
    выше списка, то пригласите преподавателя,
    продемонстрируйте ему все, что Вы
    сотворили. Будьте готовы к тому, что он
    что-нибудь Вас спросит.

studfiles.net

Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Алфавиты, номиналы, единицы / / Алфавиты, в т.ч. греческий и латинский. Символы. Коды. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон…  / / Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.


Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Сокращённая и символьная запись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта dpva.ru Вариант для печати.



dpva.ru

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.

Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится символ усреднения — черта. Например, если обозначить исследуемый признак через X, а его числовые значения — через xi, то среднее арифметическое имеет обозначение .

Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по следующей формуле:

где n — объем выборки;

хi — варианты выборки.

Если данные сгруппированы, то

где n — объем выборки;

k — число интервалов группировки;

ni — частота i-ого интервала;

хi — срединное значение i-ого интервала.

Среднее арифметическое – величина того же наименования, что и значения признаков.

Нахождение среднего арифметического непрерывного вариационного ряда осложняется, если крайние интервалы не замкнуты (то есть имеют вид «менее 10» или «более 60»). В этом случае считается, что ширина первого интервала равна ширине второго, а ширина последнего – ширине предпоследнего.

Среднее арифметическое, вычисленное по формуле называют также взвешенным средним, подчеркивая этим, что в формуле xi, суммируются с коэффициентами (весами), равными частотам попадания в интервалы группировки.

Медиана

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.

Если данных немного (объем выборки невелик), медиана вычисляется очень просто. Для этого выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке возрастания или убывания, и в ранжированной выборке, содержащей n членов, ранг R (порядковый номер) медианы определяется как

Пример 7.8. Имеется ранжированная выборка, содержащая нечетное число членов n = 9:

12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28.

Тогда ранг медианы:

и медиана совпадает с пятым членом ряда: Ме = 20.

Если выборка содержит четное число членов, то медиана не может быть определена столь однозначно.

Пример 7.9. Имеется ранжированная выборка, содержащая 10 членов:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

Ранг медианы оказывается равным:

Медианой в этом случае может быть любое число между 14 и 16 (5-м и 6-м членами ряда). Для определенности принято считать в качестве медианы среднее арифметическое этих значений, т. е.:

Если необходимо найти медиану для сгруппированных данных, то поступают следующим образом. Вначале находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путем подсчета накопленных частот или накопленных относительных частот.

Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5. Внутри медианного интервала медиана определяется по следующей формуле:

где — нижняя граница медианного интервала;

hme — ширина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

— частота медианного интервала.

Пример 7.10. Найти медиану для интервального ряда примера 6.3.

Превышение разрешенной
скорости движения (км/ч)
20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 больше 60
Количество нарушений

Объем выборки равен п = 50 + 32 + 26 + 11 + 5 = 124.

Найдем медианный интервал – интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5.

Так как, накопительная частота второго интервала 50 + 32 = 82 > 62, то следовательно интервал (30; 40) будет медианным и = 30, hme = 40 – 30 = 10, = 50, = 32.

Значит,

Медиана обычно несколько отличается от среднего арифметического. Так бывает всегда, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.

 

Мода

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто.

Ряд называется унимодальным, если в нем только одно модальное значение и полимодальным, если есть несколько значений признака, которые встречаются одинаково часто. Для полимодального ряда моду не вычисляют.

Для дискретного ряда мода находится по определению.

Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.

Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула:

где — нижняя граница модального интервала;

h — ширина интервала группировки;

nMo — частота модального интервала;

nMo-1— частота интервала, предшествующего модальному;

nMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Похожие статьи:

poznayka.org

10 культовых символов, значение которых мы понимали неправильно

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту
красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook
и ВКонтакте

Эти символы пережили десятки поколений, и люди веками наделяли их силой и смыслом. Иногда со временем значение символов меняется — обрастает ассоциациями и искажается до неузнаваемости. И, возможно, этот
красивый кулончик на вашей подвеске несет неожиданный сакральный смысл.

AdMe.ru заглянул в историю наиболее известных символов.

Чаша со змеем — символ Гигеи, древнегреческой богини здоровья. От имени этой богини произошел термин «гигиена».

Змея — символ и бессмертия, и смерти, ведь ее яд способен и убить, и стать лекарством. В Средние века чашу Гигеи в качестве эмблемы использовали аптекари города Падуи в Италии, позже символ стал общепринятым среди представителей врачевания. Но в некоторых странах символом медицины считают кадуцей — посох бога торговли Гермеса с двумя обвивающимися вокруг змеями.

Ранние упоминания символа датируются 4200 годом до нашей эры. Уроборос был популярен в религии, магии, алхимии, мифологии и психологии.

Он олицетворяет созидание и разрушение, цикличность жизни и смерти. Символ был заимствован у египтян древними греками для обозначения вещей, не имеющих начала и конца. С уроборосом в китайской философии связана монада инь и ян. В гностицизме он являет собой и добро, и зло.

Символ широко использовался еще за 3 000 лет до нашей эры. В Индии он назывался Анахата. Два разнонаправленных треугольника — сложенные вместе мужское и женское начала — олицетворяли сердечную чакру.

Карл IV, император Священной Римской империи, в 1354 году разрешил евреям Праги
иметь собственный флаг. Полотнище с гексаграммой назвали флагом царя Давида. Во времена нацисткого режима звезда Давида желтого цвета стала символом холокоста.

Предполагают, что изначально символ инь-ян пришел от буддистов в I–III веках. В Китае и Японии инь-ян считается моделью всего сущего.

Изначальное понятие «инь» — «теневой», а «ян» — «солнечный склон горы». Инь и ян трактуется как беспрерывное взаимодействие контрастов. Полярные силы дополняют друг друга, и каждая несет в себе кусочек своей противоположности. Инь и ян — это мирная борьба, в которой окончательная победа невозможна, так как конца не существует.

Ранние изображения созданы в 2000 году до нашей эры. Символ встречается в Азии, на Ближнем Востоке и в Египте. Колесо было атрибутом богов солнца и олицетворяло цикличность жизни, перерождение и обновление. В буддизме и индуизме колесо символизирует круговорот Сансары, течение перемен, судьбу и время.

Позднее появилось понятие «колесо Фортуны» — символ изменчивости судьбы. Спицы колеса Фортуны несли удачи и неудачи, бесконечно сменяющие друг друга.

Первое упоминание символа датированно 1300 годом нашей эры.
Роза ветров была символом путеводной звезды и оберегом моряков.

В XVIII–XX веках были популярны татуировки с этим талисманом: считалось, что он поможет моряку в пути и в возвращении домой. Также роза ветров изображалась на картах, символизируя стороны света.

www.adme.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о