Содержание

Произведение (математика) — это… Что такое Произведение (математика)?

  • Проигрыватель грампластинок
  • Произведение матриц

Смотреть что такое «Произведение (математика)» в других словарях:

  • Произведение — (математика)  результат умножения. Произведение искусства. Музыкальное произведение. Аудиовизуальное произведение. Служебное произведение …   Википедия

  • Произведение (теория категорий) — Произведение двух или более объектов  это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов  это в… …   Википедия

  • Произведение Кронекера — Произведение Кронекера  бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц.

    Операция названа в честь немецкого… …   Википедия

  • Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки …   Википедия

  • Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия

  • Категория (математика) — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… …   Википедия

  • Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор …   Википедия

  • Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия

  • Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция  отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… …   Википедия

  • Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь  векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение …   Википедия


произведение чисел — это… Что такое произведение чисел?

произведение чисел
мат. product of numbers

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • произведение цилиндров
  • произведенная оплата

Смотреть что такое «произведение чисел» в других словарях:

  • ПРОИЗВЕДЕНИЕ — (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… …   Экономический словарь

  • Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел…, 3 …   Большая советская энциклопедия

  • произведение — сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… …   Толковый словарь Дмитриева

  • Произведение матриц — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

  • Произведение матрицы на число — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

  • Произведение (математика) — В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5.

    Результат умножения называется произведением, а… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… …   Математическая энциклопедия

  • Скалярное произведение — (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product )  операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… …   Википедия

  • Внутреннее произведение — определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства[1], делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего …   Википедия


Умножение чисел.

Множимое, множитель и произведение

Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.

Пример. Во дворе посадили  3  ряда ёлок, по  4  ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму  3  слагаемых, каждое из которых равно  4.

4 + 4 + 4 = 12.

Складывая  3  раза по  4  ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.

Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Для записи умножения используется знак  х  (косой крест)  или  ·  (точка),  который ставится между числами. Например:

4 х 3   или   4 · 3

Эта запись означает, что  4  надо умножить на  3.  Справа от записи умножения ставится знак  =  (равно),  после которого записывается полученный результат:

4 · 3 = 12.

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.

Пример. Умножить  6  на  5  — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Сократим запись, заменив сложение на умножение:

6 · 5 = 30.

Оба выражения равны:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,

но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.

Множимое, множитель и произведение

Множимое — это число, которое умножают.

Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:

4 · 3,

4  — это множимое,  3  — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.

Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:

4 · 3 = 12,

12  — это произведение. При этом сама запись  4 · 3  тоже называется произведением.

Эту запись можно прочитать так:  произведение четырёх и трёх равно двенадцати

четыре умножить на три равно двенадцатипо четыре взять три раза, получится двенадцать.

Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.

Проверка умножения

Рассмотрим выражение:

4 · 3 = 12,

где  4  — это множимое,  3  — это множитель, а  12  — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:

  1. Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:

    12 : 3 = 4.

  2. Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:

    12 : 4 = 3.

Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.

Конспект урока по математике «Сумма и произведение. Знак •» 2 класс

ФИО: Груздова Ирина Валентиновна

Место работы, должность: МОУ «СОШ №1» п.Селижарово, учитель начальных классов первой категории.

УМК: Перспективная начальная школа.

Предмет: Математика

Базовый учебник: Математика 2 класс Чекин А.Л.

Тема: «Сумма и произведение. Знак ·»

Цель: научить преобразовывать суммы равных слагаемых в произведении и наоборот.

Задачи:

  1. обучающие: дать представление о новом математическом понятии — произведении, показать, что произведение это сумма одинаковых слагаемых, показать специальный знак в виде точки (·), научить читать записи математического выражения 5·6 (произведение чисел 5 и6) совершенствовать навык решения текстовых задач;

  2. развивающие: развивать умение анализировать, обобщать, сравнивать, сопоставлять.

  3. воспитывающие: приобщение учащихся к сотрудничеству, предлагая помощь, законам совместной работы, правилам поведения на уроке; воспитание самостоятельности.

Тип урока: первичное предъявление новых знаний.

Методы: Словесный, наглядный, проблемный, частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, коллективная, индивидуальная, групповая, парная.

Технология обучения: личностно-ориентированное

Необходимое оборудование: смарт –доска, компьютер, презентация, аудио, видео – фрагменты (физкультминутка, песенка Деда Мороза) , «Дорожка успеха» для самооценки, карточки для самопроверки, карточки-снежинки для записи темы на доске, карточки с задачами урока..

Ожидаемые результаты:

предметные: знает новое математическое понятие – произведение, записывает сумму равных слагаемых в виде произведения и наоборот, читает выражение вида 5·6: произведение чисел 5 и 6.

личностные: проявляет учебно-познавательный интерес к учебному материалу; понимает причины успеха в учебной деятельности.

метапредметные УУД:

регулятивные: применяет установленные правила, определяет цель деятельности на уроке с помощью учителя, выполняет самоконтроль и взаимоконтроль результатов деятельности.

познавательные: выполняет сравнение и сопоставление математических выражений, учиться выполнять действия по заданному алгоритму (правило о произведении, алгоритм самопроверки и взаимопроверки), использует знако-символические средства при записи нового выражения, самопроверке, делает выводы о результатах совместной работы класса и учителя.

коммуникативные: умеет формулировать свои трудности, обращаться за помощью, слушает и понимает речь других, учится работать в паре, группе.

План урока:

1.Организационныйэтап. Самоопределение к деятельности.

2. Актуализация знаний. Мотивация.

3. Постановка учебной задачи урока. Целеполагание.

4.Поиск решения.

5.Изложение нового материала.

6.Закрепление новых знаний и способов деятельности.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой.

8.Домашнее задание.

9.Рефлексия деятельности.

№ этапа,

название,

задачи этапа

Приложение.

Карточка для самостоятельной работы.

Подчеркни суммы, которые можно заменить произведением.

Запиши выбранные суммы в виде произведений.

4+4+4=

5+7+5=

6+6+6+6=

13+13+13+13+13=

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Результат взаимодействия

Содержание деятельности учителя

Методы

Формы

1.Организационный

этап.

Самоопределение к деятельности.

Подготовка обучающихся к работе на уроке.

Организует детей на работу, настраивает на положительные эмоции.

Прозвенел звонок для нас.

Все зашли тихонько в класс,

Встали все у парт красиво,

Головой кивнём учтиво.

Тихо сели, спинки прямо,

Вижу, класс наш хоть куда!

Я начну урок тогда.

Словес

ный

Фронталь

ная

Занимают свои рабочие места.

Психологический и эмоциональный настрой обучающихся.

2. Актуализация знаний. Мотивация.

Актуализация знаний обучающихся для изучения нового материала, мотивация на работу на уроке.

III. Постановка учебной задачи урока. Целеполагание.

Принятие цели учебно-познавательной деятельности.

Задаёт вопросы, побуждает детей к актуализации знаний, мотивирует на работу.

Я начну его с вопроса:

-Какой приближается праздник?

А кто главный герой на этом празднике?

Совсем недавно в ноябре Деду Морозу был День Рожденья!

И он в честь своего Дня рождения раздавал всем школьникам подарки и делал сюрпризы.

Вот и для вас он прислал посылку. Посмотрим?. Я с вашего разрешения её открою.

А открыть мне её не получиться, пока мы не назовём дату дня рождения Деда Мороза.

Нужно ответить на несколько вопросов.

1)Дед Мороз задумал число, если к нему прибавить 14, то получиться 20. (Запишите число в тетрадь)

2)Сумма двух чисел равна 17. Одно слагаемое 11. Чему равно другое слагаемое? ,

(Отступите 1-у клетку вправо, запишите полученное число)

3)Какое число будет следующее в числовой последовательности 12,10,8.. Найдите сумму этих чисел.

Итак, 18 ноября у Дедушки Мороза День Рождения. (У кого из класса тоже День Рождения 18 ноября?)

(Открывает посылку)

Тут письмо и еще что-то интересное. Сначала прочитаю письмо.

«Здравствуйте, ребята! Приветствует вас Дедушка Мороз! Примите поклон низкий, пожелания добра! Порадуйте дедушку в День Рождения, откройте ещё одну тайну математики, а имя этой тайны принесут мои сказочные снежинки. Если эта тайна будет вами раскрыта, то произойдёт волшебство! Дед Мороз »

Ну что, ребята, порадуем дедушку?

Попробуем побыть в роли тайнооткрывателей?

В конце пути каждый из вас определит, на каком участке «Дорожки успеха»

находится

Напоминает правила совместной работы, подводит к постановке темы и целей урока.

Снежинки повернуться к вам, если вы быстро без запинки расскажете правила совместной работы.

Побуждает к формулированию темы урока

Посмотрите на запись и прочитайте имя тайны.

Давайте именем этой тайны назовём тему нашего урока.

.

Читает:

«Сумма и произведение. Знак .

Действительно какая-то загадка Давайте наметим план действий.

Побуждает к формулированию задач урока.

Какое понятие вам знакомо?

А нужно повторить?

  1. ПОВТОРИТЬ

А с каким столкнулись в математике впервые? (произведение)

2 УЗНАТЬ что такое

Когда мы сталкиваемся с новым понятием, то обязательно нужно изучить правило.

3 ИЗУЧИТЬ ПРАВИЛО

4 НАУЧИТЬСЯ записывать.

5 ПРОВЕРИТЬ

Словес

ный

Фронталь

ная

Думают. Отвечают на вопросы. Слушают.

Новый год

Дед мороз

6

6

6

6+6+6 =18

Анализируют «Дорожку успеха»

Повторяют правила совместной работы:

Не выкрикиваем, не перебиваем друг друга, мы слышим друг друга, учимся работать сообща.

Читают тему урока

Формулируют цель работы на уроке

Повторить решение задач.

Выяснить, как связана сумма с произведением (почему сумма и произведение написаны на одной карточке).

Что обозначают эти записи и как их прочитать, а еще научиться делать такие же самим.

Принятие цели урока – научиться записывать выражения по-новому.

IV.Поиск решения.

Актуализация субъективного опыта обучающихся.

1)Побуждает к решению задач, мотивирует, поддерживает интерес к изучаемому материалу.

Итак, приступим. А девизом нашего урока будут такие слова:

Думать – коллективно!

Решать – оперативно!

Отвечать – доказательно!

Бороться – старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

Решите задачи (устно)

Слайд 3. Дед мороз очень любит пирожки, решите эту задачку.

На одной тарелке лежит 2 пирожка. Сколько пирожков на трёх тарелках?

Слайд 4.Наступающий год – год Лошади.

У одной лошади 4 ноги. Сколько ног у 6 лошадей?

Слайд 5.

Подводит к изучению нового.

Что заметили в записи решения задач? Как называется эта запись?

Нагляд

ный,

словес

ный,

практи

ческий

Коллектив

ная

Читают, находят верное решение,

Анализируют, сравнивают, обобщают, участвуют в диалоге.

2 + 2 + 2 = 6 (п.)

4+4+4+4+4+4=24 (н.)

Отвечают на вопросы, делают выводы

Задачи на сложение.

Одинаковые слагаемые.

В первой задаче – 2, а во второй – 4.

Развитие навыка решения арифметических

задач

Учащиеся принимают учебную задачу.

2)Создаёт проблемную ситуацию.

Слайд 6.

Сколько ног у 32 лошадей?

Сколько ног у 97 лошадей?

Как запишете решение?

Сколько времени потратим на такую запись?

Какое выражение я должна записать?

Предложите свой вариант записи.

Хотите узнать?

Проблем

ный

Коллектив

ная

Предположения детей.

Учащиеся предлагают свою запись.

Вызывается затруднение в записи решения задачи.

V. Изложение нового материала.

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания обучающимися нового материала.

3) Показывает слайд с новым материалом, подводит детей к объяснению нового.

Обобщает новое правило.

Слайд 7.

Математики договорились записывать сумму одинаковых слагаемых в виде произведения

4+4+4+4+4+4 = 4 • 6

Какой знак используют для обозначения произведения?

∙ — это специальный знак для обозначения произведения. .

Слайд 8.

Запись можно прочитать так: произведение чисел 4 и 6.

Что показывает число 4?

Что показывает число 6?

Объясняет новый способ чтения

Второй способ чтения.

Замените слагаемое 4 на слагаемое 5. Что у вас получится?

5+5+5+5+5+5 = 5∙6

Проверьте друг у друга.

Запись появляется на доске.

Организует работу с правилом.

Прочитайте правило в учебнике.

Что такое произведение?

Что показывает число 5 в этом произведении? Что показывает число 6 в этом произведении? Что такое ( ∙) в произведении?

Словес

ный,

нагляд

ный,

проблем

ный, объяснительно-иллюстративный.

Коллектив

ная

Объясняют новую запись выражения.

Слушают, запоминают, воспринимают новое.

Выполняют замену, сравнивают, делают вывод.

Выполняют взаимопроверку.

Работают с правилом: читают, анализируют, находят главное, участвуют в диалоге.

Активные действия учащихся с объектом изучения.

Физкультминутка

Организует отдых детей.

Дед Мороз приглашает на зарядку.

наглядный

Выполняют упражнения под музыку за Дедом Морозом.

Отдых обучающихся. Эмоциональный настрой.

VI. Закрепление новых знаний и способов деятельности.

Обеспечение осмысления, закрепления новых знаний учащимися.

1)Организует работу в парах по записи суммы в виде произведения.

Слайд 9.

№2. Стр.99

Запишите суммы в виде произведений.

Прочитайте задание. Что будете делать? Кто понял что делать? У кого возникли вопросы?

(если непонятно задание большинству, то показать на доске)

Проверьте.

-Кто из вас ошибся?

-В чем ошибка?

-Исправьте ошибку..

Сделайте вывод.

Кто не ошибся?

Сделайте вывод. Прочитайте произведения.

Что показывает каждое число в произведении?

2)Организует работу в парах по записи произведения в виде суммы.

Слайд 10.

№ 3. Стр.100.

Прочитайте произведения друг другу. Объясните своему соседу, что обозначает первое число в произведении, второе число.

Выберите себе три произведения и запишите их в виде суммы.

Проверьте.

3)Организует работу в группах.

Ставит на каждый ряд № группы, раздаёт листы формата А4 с табличками для записи, объявляет работу в группе, назначает командиров, просит детей договориться кто будет писать, кто отвечать

Слайд 11.

1)Я напомню вам, что в середине урока звучал вопрос.( Показ на сладе)

Сколько ног у 32 лошадей?

Сколько ног у 97 лошадей?

Можете ли вы сейчас записать решение с помощью произведения?

Конечно, чтобы сосчитать такие произведения нам нужно время и знания, которые вы получите на следующих уроках.

Мотивирует детей на дальнейшую работу в группах. Ставит новую задачу.

2) Дед Мороз обещал вам сюрприз. Он угощает вас конфетами из этого волшебного мешочка. Попробуете вы их на перемене, а сейчас они вам пригодятся. Ваша задача записать в виде суммы и произведения сколько всего конфет в каждой группе, если каждому из вас досталось по 2 конфеты.

Сколько человек в каждой группе?

Побуждает к обобщению первичного закрепления материала.

Как называется запись, с которой познакомились?

Какую запись заменяет произведение и при каких условиях?

Какой знак используют в записи произведения?

Работа

с учеб

ником,

словес

ный,

нагляд

ный,

практи

ческий

Коллектив

ная,

парная

Работают в парах. Участвуют в диалоге.

Разминка(прикладывают поочередно пальцы рук друг к другу): Желаю,успеха, большого, во всём, и ВСЕГДА. ЗДРАВСТВУЙ.

Выполняют самопроверку.

Делают выводы.

(Нужно потренироваться, Мы всё хорошо усвоили)

Отвечают на вопросы.

Работают в парах. Участвуют в диалоге.

Выполняют самопроверку.

Делают выводы.

Работают в группах по рядам, применяют полученные знания, показывают выполненные задания.

Отвечают на вопросы, участвуют в диалоге.

Самостоятельное выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и изменённой ситуации.

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Этап контроля и самопроверки/

взаимопроверки

Организует самостоятельную работу детей.

Слайд 13.

На листочках внимательно прочитайте задание и выполните его.

Подчеркни суммы, которые можно заменить произведением.

Запиши выбранные суммы в виде произведений.

Поменяйтесь работами с соседом.

Проверьте работу товарища.

Слайд 14.

Оцените работу соседа (нормы оценивания на слайде).

Проблем

ный,

практи

ческий

Индивиду

альная,

фронталь

ная,

парная

Самостоятельно выполняют задания. Самопроверка.

Взаимопроверка.

Получение информации о достижении всеми учащимися планируемых результатов обучения.

VIII. Домашнее задание.

Этап информации о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Обеспечение понимания содержания и способов выполнения д/з.

Обменяйтесь с соседом по парте своими листочками, которые подготовили дома. Ваша задача записать суммы в виде произведений.

№2 стр.99, №3 стр. 100.

Словес

ный

Фронталь

ная

Запись задания в дневник.

Реализация необходимых условий для успешного выполнения д/з всеми учащимися в соответствии с уровнем их развития.

IX. Рефлексия деятельности.

Анализ и оценка успешности достижения цели урока. Определение перспективы последующей работы.

Слайд 16.

Открыли мы тайну математики? Какую?

Случилось волшебство на уроке? Какое? (стали умнее, больше знать, научились записывать суммы) Все ли задачи урока мы выполнили?

Слайд 17.

Отметьте свою работу на уроке на «Дороге успеха». Нарисуйте снежинку на определенном этапе.

На следующих уроках продолжим знакомиться с произведением.

Спасибо за работу!

Словес

ный

Коллектив

ная Индивиду

альная

Ответы на вопросы. Выбор символа в соответствии с самооценкой.

Получение информации о реальных результатах учения.

Осмысление учащимися своих действий и самооценки.

Плюс минус

Плюс минус

      Плюс и минус — это признаки положительных и отрицательных чисел в математике. Какой результат получается при умножении и делении положительных и отрицательных чисел? Эта простая таблица наглядно показывает результаты умножения и деления двух чисел с разными знаками.

      Приведенные в таблице результаты применимы как при умножении и делении целых чисел, так и при умножении и делении дробей. Для определения числовых значений результата умножения или деления воспользуйтесь таблицами умножения и деления, которые можно скачать бесплатно.

      При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число. Плюс умноженный на плюс дает плюс, плюс деленный на плюс будет плюс. Это правило математики. Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число.

      В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным. Произведение положительного числа на отрицательное — число отрицательное, частное положительного числа на отрицательное число — отрицательное число. Если числитель дроби положительный, а знаменатель отрицательный — дробь (или целое число) будет отрицательной.

      При делении или умножении отрицательного числа на положительное в результате получается отрицательное число. Минус умноженный на плюс будет минус. Минус деленный на плюс в математике будет минус. Когда числитель дроби отрицательный, а знаменатель положительный — дробь (или целое число) будет отрицательной. Если отрицательную дробь умножить или разделить на положительную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным, что определяется другими правилами математики. Произведение отрицательного числа на положительное — число отрицательное, частное отрицательного числа на положительное число — отрицательное число.

      Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс. Произведение двух отрицательного чисел — положительное число, частное двух отрицательного чисел — число положительное. При делении или умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Правила знаков в математике распространяются как на целые, так и на дробные числа. При делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. При умножении двух отрицательных дробей результат так же будет положительным, то есть со знаком плюс.

ВОПРОС — ОТВЕТ

«Кто ввел знаки сложения и вычитания в математику?» — первое употребление слов plus (больше) и minus (меньше) как обозначения действия сложения было найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре четырнадцатого века. Вначале действия сложения и вычитания обозначали перввыми буквами слов «p» и «m». Современные знаки плюс «+» и минус «-» появились в Германии в последнее десятилетие пятнадцатого века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). Существует предположение, что знаки плюс «+» и минус «-» появились из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой «-«, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+». Здесь я хочу особо подчеркнуть, что знаком «минус» отмечалась не мера (бочка) с «отрицательным» вином, а пустая мера (бочка), что гораздо больше соответствует понятию «ноль». Когда вам математики будут рассказывать об отрицательных числах, всегда помните о пустой бочке, которая по воле математиков превратилась в бочку со знаком «минус».

«Минус 6 делить на минус 3 как быть?» — сперва отбрасываем знаки минус и делим просто 6 (шесть) на 3 (три) при помощи таблицы деления и получаем в результате 2 (два). Потом по табличке вверху странички делим минус на минус и получаем плюс. Теперь прилепливаем полученный плюс к ранее полученной двойке

(-6) : (-3) = +2

Впрочем, знак «+» перед числами писать не принято, поэтому красивее и правильнее будет так:

(-6) : (-3) = 2

«Если число со знаком минус спереди умножаем на такое же число?» — решение смотри выше.

      13 ноября 2009 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Умножение | Математика

Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

7 + 7 + 7

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

письменно:

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

словесно:

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

21 = 7 + 7 + 7

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

3 = 1 + 1 + 1

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.

Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых

следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.

При этом ход вычислений выражают словесно:

  1. Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).

  2. Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.

  3. Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.

  4. Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.

Это действие выразится письменно:

Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:

  1. Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.

  2. Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.

  3. Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.

  4. Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.

  5. Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.

Этого достигают, приписывая к числу два нуля.

Отсюда заключаем:

Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.

Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:

Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.

Умножение на число с нулями в конце

Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.

Ход вычисления выразится письменно:

Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

  1. Умножая 3029 на 9, находим:

     3029
    ×   9 
    27261 первое частное произведение
  2. Умножая 3029 на 20, находим:

     3029
    ×   20 
     60580 второе частное произведение
  3. Умножая 3026 на 400, находим:

     3029
    ×   400 
    1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

  1. нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.

  2. Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.

  3. Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.

  4. Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4,    3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

Умножение и деление целых чисел

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Необходимо также изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволит избежать некоторых досадных ошибок в будущем.

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например, в выражении 3 × 2 = 6, число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:

Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.


Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

3 × 5 = 15

Теперь поменяем местами сомножители:

5 × 3 = 15

В обоих случаях мы получаем ответ 15, поэтому между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

А с помощью  переменных переместительный закон умножения можно записать так:

a × b = b × a

где a и b — сомножители


Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

24 = 24

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.


Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.


Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

0 × 2 = 0

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.

Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

0 × 2 = 2 × 0

0 = 0

Примеры применения закона умножения на ноль:

5 × 0 = 0

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5  × 0 × 9  × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Теперь рассмотрим самó умножение целых чисел.


Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают короче:  −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

2 × 3 = 6

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.


Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно решение записывают покороче:

12 × (−5) = −60


Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Запишем решение покороче:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80


Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

4 × (−2)

Заключим его в скобки:

( 4 × (−2) )

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) )

Всё это приравняем к нулю:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

−8 + … = 0

Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

−8 + 8 = 0


Пример 5. Найти значение выражения  −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число  −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

−12 + (−8) = −20

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Запишем решение покороче:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20


Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Запишем решение покороче:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24


Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4,  8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Далее рассмотрим законы деления.


На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль.

Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10 : 5 = 2

Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6

12 : 6 = 2

Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

5 × 0 = 0

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

0 : 0 = 5

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

0 : 0 = 2

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

… × 2 = 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

8 : 2 = 4

Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:

4 × 2 = 8

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

… × 0 = 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

,  при b ≠ 0

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.


Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

12 : 4 = 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4) : (4 × 4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12 : 4) : (4 : 4)
(12 : 4) : (4 : 4) = 3 : 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.


Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.

12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

Обычно записывают покороче:

12 : (−2) = −6


Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.

−24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

Запишем решение покороче:

−24 : 6 = −4


Пример 3. Найти значение выражения −45 : (−5)

Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

−45 : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

Запишем решение покороче:

−45 : (−5) = 9


Пример 4. Найти значение выражения −36 : (−4) : (−3)

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3

Первое действие:

−36 : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

Второе действие:

9 : (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

Запишем решение покороче:

−36 : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Вот что на самом деле означают знаки на ваших продуктах

В наши дни, когда вы покупаете продукт, на упаковке часто появляется множество символов, которые могут сбить вас с толку.

Символы, поскольку они преодолевают языковые барьеры, являются отличным способом передачи важной информации о продукте. Это особенно актуально для пищевых продуктов и продуктов со специальными ингредиентами или информацией об использовании.

Символы на упаковке помогают брендам обучать клиентов и позволяют им проверять важные заявления о продуктах и ​​принимать обоснованные решения о покупке, а также демонстрируют основные ценности бренда.

1. Переработка / Петля Мебиуса

Чаще всего встречается символ, указывающий на то, что материал можно перерабатывать. Это не означает, что продукт или материал были переработаны, с использованием переработанных материалов или что они будут приняты во всех системах сбора вторсырья.

Реклама

Иногда этот символ используется с цифрой в процентах в середине, чтобы объяснить, какая часть продукта произведена из переработанных материалов.

Хотя три черные стрелки или петля Мебиуса указывают на возможность вторичной переработки, это не относится ко всем пластмассам, особенно к ламинированной упаковке, состоящей из нескольких слоев материала, сплавленных вместе, например, пакетам для закусок и тетрапакам.

2. Идентификационные коды смолы

Это «Идентификационные коды смолы», которые определяют тип пластмассовой смолы, использованной для изготовления изделия. Эта информация особенно важна в случае пластиковых предметов, используемых для хранения или нагрева продуктов питания и напитков.

Код смолы представлен символом «бегущие стрелки», окружающим число от 1 до 7, которое определяет используемую смолу.

1 — продукт из полиэтилентерефталата (ПЭТ) (бутылки для напитков, чашки, прочая упаковка и т. Д.))
2 — полиэтилен высокой плотности (HDPE) (бутылки, стаканы, молочники и др.)
3 — поливинилхлорид (PVC) (трубы, сайдинг, полы и др.)
4 — полиэтилен низкой плотности (LDPE) (полиэтиленовые пакеты, кольца для шести упаковок, трубки и т. д.)
5 — полипропилен (ПП) (автозапчасти, промышленные волокна, контейнеры для пищевых продуктов и т. д.)
6 — полистирол (ПС) (пластиковая посуда, пенополистирол, подносы для кафетерия, и др.)
7 — другие пластмассы, такие как акрил, нейлон, поликарбонат и полимолочная кислота (PLA).

3. Tidyman

Знак «Не мусорить», который напоминает всем нам, что нужно быть хорошими гражданами и тщательно и осторожно утилизировать продукт после использования.


Чтобы делать покупки в широком ассортименте экологически чистых и экологически чистых продуктов, загляните в магазин The Better India Shop здесь.


Интересно, что это не относится к переработке, а лишь служит напоминанием об ответственной утилизации.

4. Этикетка энергоэффективности

Этикетка энергоэффективности Бюро энергоэффективности описывает энергетические характеристики (в форме использования энергии, эффективности или стоимости энергии) и потенциал экономии бытового и другого электрического оборудования. например, холодильники, кондиционеры, водонагреватели, ламповые лампы и потолочные вентиляторы.Руководство по энергосбережению для бытовых приборов дает потребителям необходимую информацию, чтобы сделать осознанную покупку.

Число звездочек на красном фоне обозначает рейтинг, присвоенный конкретному продукту. Более выделенные звезды означают большую экономию энергии.

Поскольку звездные рейтинги периодически меняются, важно смотреть на год на этикетке. Информация в таблице содержит подробные сведения о брендах.

5. Craftmark

Этот символ помогает обозначить подлинные индийские изделия ручной работы в соответствии с некоторыми указанными минимальными стандартами и нормами маркировки.Покупка подлинных изделий ручной работы обеспечивает средства к существованию миллионам квалифицированных индийских мастеров и способствует повышению их навыков и доходов.

Craftmark — это символ качества и мастерства, объединяющий разнообразные ручные навыки и продукцию Индии, помогающий как потребителям, так и мастерам.

6. Справедливая торговля

Знак справедливой торговли является одним из наиболее широко признанных и надежных этических знаков в мире. Движение также уделяет внимание устойчивым средствам к существованию для фермеров и рабочих и защите окружающей среды.

Он работает в тесном сотрудничестве с производителями и сертифицирует транзакции между компаниями и их поставщиками, чтобы гарантировать, что люди, производящие товары, сертифицированные по справедливой торговле, работают в безопасных условиях, защищают окружающую среду, создают устойчивые средства к существованию и зарабатывают дополнительные деньги, чтобы расширить возможности и улучшить свои сообщества.

Чтобы стать сертифицированными производителями Fairtrade, кооперативы и их фермеры-члены должны действовать в соответствии с определенными стандартами, установленными Fairtrade International.

7.Прыгающий кролик

Знаете ли вы, что 80 процентов мира все еще позволяет использовать животных в жестоких испытаниях на косметику? И почти во всех странах по-прежнему разрешено тестирование чистящих средств на животных!

Бесчисленные кролики, морские свинки, хомяки, мыши и крысы умирают в ходе обычных тестов на животных для определения ингредиентов, входящих в состав дезодорантов, губных помад и моющих средств.

The Leaping Bunny — это международно признанный сертификат для косметики, личной гигиены и товаров для дома, который гарантирует потребителям, что при разработке любого продукта, демонстрирующего его, не использовались новые тесты на животных.

Компании подлежат независимому аудиту всей цепочки поставок со стороны Коалиции за информацию для потребителей по косметике (CCIC), чтобы убедиться, что они соответствуют строгим критериям Leaping Bunny, прежде чем им будет разрешено лицензировать логотип.

После получения лицензии компании должны дать обещание, что с установленной даты прекращения они не будут проводить и не заказывать тесты на животных, а также не использовать какие-либо ингредиенты или составы, которые были протестированы на животных.

8. Ecomark

Выданный Бюро индийских стандартов (BIS) сертификат ECOMARK является сертификатом для бытовых и других потребительских товаров, которые являются экологически безопасными и соответствуют стандартам, установленным BIS.Любой продукт, который производится, используется или утилизируется способом, который значительно снижает вред, который он в противном случае мог бы нанести окружающей среде, считается экологически чистым.

Он выпускается примерно по 16 категориям, таким как продукты питания, лекарства, химикаты, электронные товары, бумага, смазочные масла, упаковочные материалы и т. Д.

Целью знака является побудить потребителей покупать больше экологически чистых продуктов, а также стимулировать производители снижают негативное воздействие своей продукции на окружающую среду.

Продукты строго анализируются по различным критериям, например, вносят ли они значительный вклад в сбережение невозобновляемых ресурсов и природных ресурсов; независимо от того, сделаны ли они из переработанных, перерабатываемых или биоразлагаемых продуктов и т. д. до получения сертификата.

9. Система совместных гарантий (PGS)

PGS — это международно применимая децентрализованная система обеспечения качества органических продуктов. Он внедряется и контролируется преданными органическими фермерами-производителями посредством активного участия, наряду с потребителями, на основе подтвержденного доверия.

Это не система сертификации «инспекторского раджа», а система, основанная на личной честности и давлении со стороны коллег. Фермер заверяет, что в производственном процессе не используются химические вещества (удобрения, инсектициды, гербициды, гормоны и т. Д.).

Местная группа, состоящая из пяти или более фермеров, занимающихся органической продукцией, является ядром системы саморегулируемой поддержки PGS. Стандарты обеспечения качества определяются Органическим советом PGS, который разрешает использование своей этикетки на продукте в качестве знака качества.

Система PGS India основана на коллективном подходе, общем видении, прозрачности и доверии.

10. Джайвик Бхарат

1 января 2019 года Индия присоединилась к группе из 50 стран, которые требуют четкой и удобной для потребителя маркировки органических продуктов. Логотип Jaivik Bharat — это государственная сертификация — это единый логотип для органических пищевых продуктов.

Он отличает органические продукты от неорганических. Внизу есть слоган «Джайвик Бхарат», который означает «Органические продукты питания из Индии».

Он предназначен для устранения путаницы вокруг подлинных органических продуктов и требует, чтобы никто не мог производить, упаковывать, продавать, продавать или иным образом распространять или импортировать любые органические продукты питания, если они не маркируют упаковку полной и точной информацией относительно органический статус продукта.

11. Сертификация Халяль

Сертификация Халяль гарантирует соответствие продукции требованиям исламского права. В основном это применяется к мясным продуктам и другим продуктам питания, таким как молоко, консервы и добавки.


Читайте также: Внимание, любители вечеринок! Вот ваш путеводитель по хостингу The Ultimate Eco-Friendly Bash


Продукты, сертифицированные Халяль, часто помечаются символом Халяль, который на арабском или английском языке означает «Халяль».

12. Глобальный стандарт органического текстиля (GOTS)

Глобальный стандарт органического текстиля (GOTS) — это ведущий мировой стандарт обработки текстиля для органических волокон, включая экологические и социальные критерии, подтвержденный независимой сертификацией всей цепочки поставок текстиля. .

Эта сертификация охватывает все, от сбора сырья до экологически и социально ответственного производства до маркировки и предоставления надежных гарантий потребителю.

Только текстильные изделия, содержащие не менее 70 процентов органических волокон, могут получить сертификат GOTS. Все используемые химические вещества, такие как красители и вспомогательные вещества, должны соответствовать определенным экологическим и токсикологическим критериям.

Выбор аксессуаров ограничен и экологическими аспектами.Функциональная установка очистки сточных вод является обязательной для любой задействованной установки мокрой обработки, и все переработчики должны соответствовать минимальным социальным критериям.

Надеемся, что эта информация поможет вам принимать более обоснованные решения о покупке.


Чтобы делать покупки в широком ассортименте экологически чистых и экологически чистых продуктов, загляните в магазин The Better India Shop здесь.


(отредактировал Шрути Сингхал)

Показанное изображение: Источник

Понравилась эта история? Или есть чем поделиться?

Напишите нам: contact @ thebetterindia.com.
Свяжитесь с нами в Facebook и Twitter.

Знак Продукция и описание знаков в наличии

ЗНАКИ, ЦИФРОВАЯ СИГНАЛИЗАЦИЯ, БУКВЫ БЛИЗНЕЦОВ, ФРОНТЫ, БАННЕРЫ, ИНТЕРЬЕР ADA BRAILLE, ВЫСТАВКА И ДИСПЛЕЙ ПРОДУКТЫ!

Доступен широкий выбор вывесок, включая индивидуальный дизайн вывесок и услуги печати в Okoboji Graphics.

Пользовательские знаки

Узнайте больше о наших продуктах ниже.Мы предлагаем индивидуальные дизайнерские услуги, уникальные продукты, соответствующие вашим маркетинговым целям.

Баннеры

Мы самостоятельно разрабатываем и печатаем баннеры шириной до 60 дюймов любой длины. Кроме того, мы обеспечиваем печать полноразмерных баннеров для рекламных щитов на шоссе. Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

Коммерческие знаки

Знаки продают ваши услуги, продукты или местоположение и ежедневно повышают ценность благодаря постоянной видимости 24/7/365.Свяжитесь с нами, чтобы разработать коммерческий знак. Отправьте нам векторную графику по электронной почте в формате PDF, чтобы вырезать винил или распечатать виниловый знак.

Буквы о продукте в знаке Близнецов Украсьте витрины объемными знаковыми буквами. Варианты металлических букв включают: плоский металл, литой металл, сборный металл. К пластиковым буквам относятся: лазерная резка из акрила, формованного пластика, литого пластика или ламинированных композитных букв. К буквам с подсветкой относятся: буквы с лицевой подсветкой или буквы с ореолом. Принадлежности для знаков Близнецов включают в себя: плоские сменные копии букв и дорожек, выделенные буквы, тротуарные знаки.Чтобы узнать больше о продуктах со знаком Близнецов, которые мы продаем, посетите сайт производителя и отправьте нам электронное письмо о том, что вы хотели бы купить. Отправьте нам свой векторный логотип по электронной почте в формате PDF, чтобы получить индивидуальную цену логотипа знака.
Продукция Gemini Plaque Литые бляшки предлагают постоянство и архитектурную глубину. Пластины с прецизионной обработкой легко настраиваются и изготавливаются за меньшее время.

ТРАВЛЕННЫЕ И ГРАВИРОВЫЕ ПЛАСТИНЫ. Сложные художественные работы и замысловатый шрифт прекрасно переносятся на поверхность из латуни, бронзы, меди или нержавеющей стали, дополняя любую табличку или выступая в качестве яркого самостоятельного предмета.
ADA И ПОИСК ПУТИ. Высококачественный, запатентованный производственный процесс для приложений, в которых используются металлические вывески ADA с полностью интегрированным антивандальным шрифтом Брайля.
ЗАГОТОВКИ АКРИЛОВЫЕ И АЛЮМИНИЕВЫЕ. Классические акриловые и алюминиевые бляшки, готовые для гравировки, могут быть отправлены в течение нескольких дней.
Посетите сайт Gemini Plaques, чтобы узнать больше. Верните электронное письмо в Okoboji Graphics, чтобы получить расценки и заказать таблички.

С подсветкой

Светящиеся вывески на шкафах или вывески с буквами отлично подходят для видимости магазина в ночное время.Свяжитесь с нами, чтобы разработать графику для вывесок для экранов. Отправьте нам свой запрос по электронной почте, чтобы обсудить решение для вашего местоположения.

Светодиодные вывески Добавив цифровой знак, вы привлечете больше внимания ярким светом, движением и изменяемыми сообщениями, запрограммированными на компьютере, iPad или iPhone. Доступны внутренние или внешние светодиодные вывески. Свяжитесь с нами, чтобы разработать экранную графику. Или отправьте нам свой запрос по электронной почте с описанием ваших потребностей.
Магнитный

Мы изготавливаем магнитные знаки для временных знаков, которые снимаются со стальных поверхностей.Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

Памятник

Новая вывеска-памятник не обязательно должна быть из кирпича и камня. Мы можем изготовить вывески с объемными буквами, лепниной EFIS или искусственной текстурой, которые имеют объемные буквы, легкие и простые в установке. Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

Витрины

Украсьте витрины световыми вывесками, канальными буквами, цифровыми знаками, штампованными металлическими или пластиковыми буквами, панельными знаками, оконными знаками, логотипом двери и часами с виниловыми наклейками.Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

Принадлежности для вывесок

Мы можем предоставить материалы для вывесок, такие как подложки для вывесок, рамки для вывесок недвижимости, стенды или рамки для баннеров и другие товары для вывесок. Свяжитесь с нами для заказа. Или отправьте нам свой запрос по электронной почте с описанием потребностей.

Дворные знаки

Крупные или мелкие заказы. Чем больше вы покупаете, тем ниже цена каждого. Доступны полноцветные печатные знаки.Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

LendeSigns — Категории ссылок на продукты электронной коммерции —
КУПИТЬ, подписывает онлайн. Интернет-магазин LendeSigns готов к отправке. Свяжитесь с нами для заказа художественных работ! Ссылки на магазины ниже. ADA Брэйл ADA и внутренние знаки для ванных комнат, дверей, имен, комнат, номеров комнат, выхода, справочника, инвалидов, безопасности и других типов знаков.
Пожалуйста, создайте учетную запись под именем нашего дистрибьютора почтовый индекс 51360. Используйте либо Дистрибьютор: Lende Signs & Graphics , либо Дистрибьютор: BojiSigns.com Наше имя должно быть расположено мелким шрифтом под SignMojo вверху слева. Затем закажите по номеру US , чтобы использовать все онлайн-инструменты SignSpec. Мы самостоятельно разрабатываем и печатаем баннеры шириной до 60 дюймов любой длины. Кроме того, мы обеспечиваем печать полноразмерных баннеров для рекламных щитов на шоссе.Свяжитесь с нами для проектирования. Или отправьте нам свои работы по электронной почте в формате PDF для печати.

Какой у вас знак управления продуктом?

Вы целитель, маг или авантюрист? Что звезды продуктового менеджмента говорят о вашем будущем?

Чтобы немного повеселиться на нашей конференции ProductCraft в феврале, мы создали табличку «Какое у вас управление продуктом?» викторина для участников. Теперь мы делимся им со всеми, чтобы немного повеселиться.Если вам когда-либо нравилось читать свой гороскоп, вы можете получить удовольствие от восьми разных знаков PM.

Вестник

Таблицы, билеты Jira, доски Miro, что бы это ни было, вы это обработали. Другие говорят, что вы менеджер по продукту типа А, но зачем вам стремиться к чему-то еще? Некоторые руководители проектов могут чувствовать себя зажатыми в коробках, но вы видите все возможности для инноваций. Ограничения вас не беспокоят; Фактически, вы цените структуру, которую они предоставляют. Вы организованы и руководствуетесь процессами.Вы также прозрачны и эффективны и обычно выполняете свои обязательства раньше, чем обещали.

Целитель

Вы преуспеваете, когда общаетесь с другими, и ваши таланты делают вас невероятными при собеседовании с клиентами и сборе отзывов пользователей. Вы прирожденный эмпат, и ваши навыки межличностного общения выделяются среди тех, кто занимается продакт-менеджментом. В конце концов, лучшие менеджеры по работе с клиентами защищают своих пользователей и свою команду. Служебное лидерство для вас не просто модное слово — это вся ваша философия управления продуктом.

Ученый

Данные — ваш язык любви. Вы все о показателях, тестах и ​​т. Д. Вы точно знаете, о чем говорите, и у вас есть цифры, подтверждающие это. Ваши решения основаны на данных, и это помогает вам проверять гипотезы и экспериментировать. Вы считаете, что данные — лучший способ подтвердить все решения о продукте, и что все пути ведут к исходным числам.

Алхимик

Вы великолепны в межфункциональном сотрудничестве.Другие могут бояться работать с другими, но вы знаете, что волшебство действительно происходит на пересечении всех функций. Вы опираетесь на свои отношения с другими командами и не скрываете своих ожиданий. Хакатон — ваше любимое время года, потому что межфункциональное сотрудничество действительно является лучшим ингредиентом для инноваций.

Провидец

Вы — новаторский провидец с даром видеть картину в целом. Будущее может тревожить некоторых людей, но оно просто волнует вас.Вы подписаны на последние технические новости и в курсе всех тенденций отрасли. Вы можете увидеть свою дорожную карту через шесть месяцев, год и даже дольше. Вы из тех менеджеров по продукту, которые хотят быть на переднем крае всех революционных новых технологий.

Маг

Вы прекрасно владеете всеми инструментами и технологиями, которые необходимы, чтобы стать отличным менеджером по продукту. Вы знаете свой технический стек от и до, а другие удивляются тому, насколько хорошо вы владеете инструментами. Есть вопросы об интеграции и API? У вас есть ответы на все вопросы.Вы назначены специалистом по устранению неполадок в группе разработчиков и, вероятно, могли бы провести отличную демонстрацию с закрытыми глазами и с нестабильным Wi-Fi.

Искатель приключений

Вы очень любопытный человек. Когда клиенты приходят к вам с запросами на новые функции, вы отправляетесь в путешествие, чтобы выяснить, «как» и «почему». Вы готовы погрузиться в кроличью нору билетов службы поддержки, чтобы узнать, что идет не так, а что правильно. В то время как другие могут уклоняться от поиска слишком большого количества отрицательных отзывов, вы принимаете их, потому что знаете, что все отзывы — это подарок.

Мастер

Вы уделяете внимание деталям и руководствуетесь своим мастерством. Вы, вероятно, выросли, желая стать менеджером по продукту, даже не зная, что это была карьера. Вы всегда гордились тем, что являетесь менеджером по маркетингу, и ваши знания подтверждают это. Вы знаете, что менеджер по продукту является мини-генеральным директором продукта, и не боитесь спорить об этом. Вы — голос продукта и клиента, и вы это знаете.

Итак … что такое , ваш знак (клянемся, мы не спрашиваем в жуткой очереди)? Пройдите нашу быструю и увлекательную викторину, чтобы узнать.В качестве бонуса вы получите гороскоп управления продуктом на 2020 год. Нужно ли вам сосредоточиться на своих аналитических навыках или тратить больше времени на собеседование с клиентами? Следует ли вам искать новые источники вдохновения или обратиться к собственному воображению и опыту? Получите ответы здесь.

Знак извещения о воздействии продукта на мебель

K5826

Уведомление о воздействии продукта на мебель

Соответствует § 25607.12 (a) (1) (A) и § 25607.13 (a) (2)

Арт. №
.
K5826-BC

Считывает знак
Уведомление

Некоторые мебельные изделия могут подвергать вас воздействию химических веществ, которые, как известно в штате Калифорния, вызывают рак, врожденные дефекты или другие нарушения репродуктивной функции.Пожалуйста, проверьте этикетку на продукте для получения предупреждений.

Язык
Английский. Также доступно в Испанский язык.
Соответствие
  • Предложение 65
  • OSHA 1910.1200 (c)
  • Отгрузочные декларации


Другие конфигурации этого продукта Сертификация ECCN.

Знак настройки

Добавить в корзину

0 В наличии

Необходимы особые условия перевозки. Выучить больше

Предупреждающий знак о воздействии на мебельный продукт является знаком, необходимым для соблюдения § 25607.12 (a) (1) (A) и § 25607.13 (a) (2) Предложения 65 Калифорнии. Эти разделы требуют минимального размера знака 8-1 / 2 x 11 дюймов, минимум 28 шрифтов и конкретных текст, информирующий клиентов на выставках или у общественных входов о том, что некоторая мебель может подвергать клиентов воздействию опасных химикатов. Он также предоставляет им веб-сайт, на котором они могут получить дополнительную информацию.

Часто покупаются вместе

Информация о продукте

Обзоры

Различные типы вывесок для использования в рекламе

В BusinessTown у вас есть доступ к более чем 50 загружаемым инструментам, таким как рабочие таблицы, образцы и шаблоны, которые помогут вам начать и вести бизнес.

Наши самые популярные инструменты:

Полный контрольный список для запуска, 18 страниц

Электронная книга «300 лучших идей для малого бизнеса», 105 страниц

Полный шаблон бизнес-плана, 29 страниц

Полный образец бизнес-плана, 35 страниц

Пример маркетингового плана до 2 тыс. Долларов, 12 страниц

Шаблон одностраничного маркетингового плана

Пример маркетингового плана на одной странице

50 Рабочий лист тактики партизанского маркетинга, 8 страниц

Рабочий лист оценки бизнес-идей

8 основных шагов по созданию шаблона продажи

Торговые презентации, которые понравятся вашим клиентам Шаблон

Диалог с примером презентации продаж

Лист 50 способов создания бесконечных потенциальных клиентов

Шаблон сценария холодного вызова и образец

Электронные письма с шаблоном и образцом продаж

Голосовые сообщения с шаблоном и образцом обратных вызовов

Шаблоны и образцы отчета о прибылях и убытках

Шаблоны и образцы бухгалтерского баланса

Шаблоны и образцы денежных потоков

Шаблон расчета амортизации

Ключевые финансовые показатели Образец

Как я начал успешный бизнес без денег и опыта, пример из практики

Ключевые вопросы для выбора лучшей бизнес-идеи Рабочий лист

Лист проверки бизнес-идеи

Использование шестиэтапного подхода к выбору бизнес-идеи Пример использования

21 Руководство по бизнес-идеям, которые легко начать с неполного рабочего дня

Руководство для 42 домашних предприятий: начать работу

Почему я неоднократно менял юридическое лицо моего бизнеса, пример из практики

Рабочий лист оценки клиентских сегментов и конкурентов

Рабочий лист «Отличите свой бизнес от конкурентов»

Как я выделил свой первый бизнес на переполненном рынке, пример из практики

Создание шаблона и образца пресс-релиза

Marketing Bob’s Rent-A-Bike, Пример использования

Планирование, проектирование и создание вашего веб-сайта Рабочий лист

Рабочий лист поисковой оптимизации

Лист с 50 идеями для публикаций в блоге

Лист 50 творческих идей интернет-маркетинга

Лист оценки потенциальных имен для вашего бизнеса

Как я финансировал бизнес-пример

Сопроводительное письмо для поиска финансирования Образец

Образцы инкассовых писем

Четырехквадрантная теория управления временем График

7 признаков того, что вы можете быть специалистом по продукту

В то время как управление продуктами становится все более распространенным явлением (особенно для технологических компаний, переживающих быстрый рост), наше исследование показало, что без специальной функции управления продуктом обязанности часто берут на себя несколько человек в организации.Этот подход может работать… до тех пор, пока он не перестанет работать.

Для роли, предназначенной для повышения эффективности, не очень эффективно, если обязанности распределены между несколькими людьми с другими определенными собственными ролями. И на самом деле выгоды от работы с продуктом (лучшее согласование между командами, освобождение менеджеров по продуктам от административных задач, чистота данных и т. Д.) Растут в геометрической прогрессии, когда к ним прикреплен специальный человек или команда.

Итак, чтобы помочь тем, кто может прятаться в тени, мы делимся некоторыми явными признаками профессионализма в сфере производства продуктов — независимо от того, осознают они себя таковыми или нет.

1. Вы взяли на себя управление технологическим стеком продуктовой группы

Продуктовые команды полагаются на множество инструментов для эффективного выполнения своей работы. Но с каждой новой системой, добавляемой в стек, появляется все больше путаницы в отношении того, какая из них что делает, кто является администратором и как выглядят передовые практики. Введите: product ops.

Организация по работе с продуктом не только управляет всем технологическим стеком продукта, но и устанавливает процессы и обеспечивает обучение, чтобы более широкая команда могла получить максимальную отдачу от каждого инструмента.Если вы ухватились за возможность помочь внедрить новых членов продуктовой группы в свои системы или создать документацию по различным инструментам, которые использует ваша команда, вы уже выполняете часть работы по работе с продуктом.

2. Вы всегда будете обращаться к специалистам по продажам, маркетингу и работе с клиентами.

Работа в любой продуктовой роли по своей сути является совместной, но продуктовые операции существуют, чтобы помочь устранить пробелы и обеспечить синхронизацию продуктовой организации с ее аналогами, выходящими на рынок.Это может включать участие в еженедельных встречах других команд, а также более конкретные проекты, такие как работа с маркетингом над определениями персон и партнерство с операциями по доходам для включения данных о продуктах в показатели состояния бизнеса.

Даже если вы не работаете над конкретными тактическими проектами со своими командами по маркетингу, продажам и работе с клиентами (CS), подумайте о том, как вы взаимодействуете с членами этих команд. Если это на постоянной основе, вы можете действовать как постоянный специалист по работе с продуктом, даже не осознавая этого.

3. Если бы вы могли потратить весь день на сбор, систематизацию и анализ данных о товарах, вы бы

В наши дни доступно больше данных о продуктах, чем когда-либо прежде — от использования продукта, производительности и уровня удержания до NPS, отзывов клиентов и запросов функций (и это лишь некоторые из них). Данные — важная часть работы любого специалиста по продукту, но они абсолютно необходимы для работы с продуктом.

Когда это устоявшаяся функция, организация по производству продуктов отвечает не только за сбор и управление данными о продуктах из нескольких точек, но и за их анализ и обмен мнениями с заинтересованными сторонами в компании.Если вы думаете, что можете заниматься теневым менеджером по продукту, подумайте, как часто вы работаете с данными о продукте — или как часто вы хотели бы это делать.

4. Вы неофициальный хранитель графиков экспериментов

По мере роста продуктовых команд растет и количество проводимых ими экспериментов. Управление продуктом помогает устранить трение в процессе экспериментов, что позволяет продуктовым командам проводить больше (и более эффективных) экспериментов. Может быть, у вашей команды уже есть процессы и документация для экспериментов — или, может быть, вы вмешались, чтобы помочь создать единый источник правды для экспериментальной информации, сегментировать группы пользователей или установить четкие рабочие процессы экспериментов от начала до конца.

5. Члены группы обращаются к вам за информацией о продукте, например за обновлениями дорожной карты и документацией по функциям

Если вы постоянно отвечаете на запросы информации или вопросы о продукте, возможно, вы уже выполняете большую часть работы по работе с продуктом. От вспомогательных материалов до обзоров функций и сроков предстоящего релиза — product ops является лучшим специалистом для получения знаний о продукте и работает с расширением продаж и маркетингом продукта, чтобы передать ресурсы в руки нужных людей.

6. Вы создали процессы и документацию для сбора отзывов клиентов

Отзывы клиентов могут принимать разные формы, поступать по разным каналам и влиять на несколько команд в организации. Но для того, чтобы эта обратная связь была полезной при принятии решений о продукте, ее необходимо организовать и эффективно поддерживать.

Поскольку обратная связь — это такая важная качественная точка данных, операторы продукта часто несут ответственность за координацию усилий по обратной связи с клиентами, например, отслеживая все каналы обратной связи и предоставляя информацию CS и продуктовым командам.

7. Вас постоянно втягивают во встречи с руководством

Когда отделы по продуктам запущены и работают, данные и аналитика, которые они предоставляют, чрезвычайно важны для тех, кто принимает решения, связанные с продуктом. Если вас постоянно просят присоединиться к собраниям руководителей, чтобы представить такие вещи, как данные о состоянии продукта или предложения по планам развития (разумеется, на основе данных), вы, вероятно, уже удовлетворяете потребность в продуктах.

Готовы проверить, все ли вы были менеджером по продукту? Пройдите этот тест, чтобы узнать.

5 признаков положительной эффективности продукта

Стартапы, продуктовые группы и производители всегда ищут контрольные признаки и стандартные показатели производительности, чтобы определить успех своих продуктов. Миллионы продуктов заполняют рыночные пространства онлайн и офлайн, поэтому нет общих признаков или ключевых показателей эффективности для измерения этого успеха. Более того, определение успеха продукта у разных маркетологов разное.

5 знаков, свидетельствующих о положительных характеристиках продукта

Другими словами, метрики успеха должны описываться командой по созданию продукта.От характера вашего бизнеса и других продуктов зависит, будет ли производительность на должном уровне или нет.

Допустим, вы создали продукт, чтобы добавить к существующему потоку доходов и развить огромный бизнес. Признаки того, что продукт работает хорошо, будут отличаться от признаков другого продукта, разработанного для решения проблемной точки, повышения защиты бренда или обеспечения высокой ценности для пользователей. Если вам удастся провести IPO в течение 10 лет после запуска продукта, значит, вы добились успеха. Высокая Лояльность клиентов или впечатляющий показатель NPS покажут, что другой продукт работает хорошо. Читайте дальше, чтобы узнать о 5 признаках, которые могут рассказать о реакции рынка на вашу продукцию.

1. Принятие покупателем

Довольные покупатели подают несколько признаков того, что ваш продукт пользуется успехом на рынке.

  • Они продолжают возвращаться, распространяют добрые слова и награждают вас бесплатным пиаром.
  • Довольные клиенты загружают ваше приложение, стремятся к положительному взаимодействию и подписываются на вас на онлайн-платформах и в социальных сетях.
  • Они рекомендуют ваши продукты коллегам, друзьям и членам семьи.
  • Вы получаете много положительных отзывов.
  • Ваши клиенты начинают налаживать контакты с торговыми представителями и остаются рядом; показатели удержания клиентов находятся на рекордно высоком уровне.

2. Обслуживание клиентов

Положительный отклик на ваши послепродажные услуги является убедительным показателем того, что ваш продукт пользуется успехом.Следующие признаки появляются, когда вы начинаете правильно относиться к своим клиентам и уделять их проблемам первостепенное внимание.

  • Вы представили различные способы, которыми клиенты могут обратиться к вам за помощью. Наиболее часто используются социальные сети, варианты чата и электронная почта.
  • Вы получаете новых контактов и потенциальных клиентов на основе положительного опыта обслуживания клиентов и рекомендаций ваших существующих клиентов.
  • Ваши клиенты чувствуют, что их ценят, когда вы выражаете им свою благодарность и благодарность; вы знаете, как добавить человеческий фактор в продажу вашей продукции.
  • Если есть какие-либо серьезные проблемы, например, с контрафактной продукцией, вы немедленно признаетесь.

3.

Прибыль в изобилии

Получаете ли вы больше прибыли, чем затраты на производство и продажу вашей продукции? Выгоды для бизнеса очевидны, если ваши итоговые показатели будут в плюсе. Теперь важно продолжать создавать больше ценности для клиентов, чтобы покупатели стали более лояльными к вашим продуктам. Существуют подметрики для категорий продуктов, которые отражают либо ценность клиента, либо прибыль.В конечном итоге стремитесь к более высокой прибыли или снижению затрат.

4. Затраты на привлечение клиентов

Если стоимость привлечения вашего клиента меньше, чем его пожизненная ценность, то у вас есть лучший продукт под рукой. Например, какова стоимость привлечения трафика на ваши целевые страницы через LinkedIn Ads или Google Adwords? Покупают ли посетители ваши продукты после перехода на желаемые целевые страницы? Затраты на привлечение потенциальных клиентов в размере можно определить, изучив рейтинг кликов по маркетингу и рекламе.

Процент людей, подписавшихся для получения дополнительной информации, также дает оценку затрат на приобретение и коэффициентов конверсии в различных частях воронки продаж.

5. Расширение вашего бизнеса

Хороший продукт обладает сверхспособностями, позволяющими ему хорошо работать в нужной отрасли. Технологии оказывают огромное влияние на отраслевые вертикали, поэтому ищите знаки, которые дополняют вашу организационную модель. Сможете ли вы запускать итерации продуктов (которые хорошо себя зарекомендовали) достаточно быстро? Ваши процессы маркетинга, разработки и дизайна должны быть такими, чтобы вы могли оптимизировать продукты после каждого новаторского выпуска.Чтобы добиться большего успеха, важно начать создавать более эффективную команду, которая сможет решать задачи отрасли, в которой вы работаете.

NeuroTags — партнерство для успеха ваших продуктов


NeuroTags, поставщик решений по борьбе с подделками и систем отслеживания, может помочь сделать ваш бренд более успешным. Мы обеспечиваем оптимальную защиту от утечки и подделки для повышения автоматизации маркетинга и показателей лояльности клиентов показателей. Свяжитесь с нами, чтобы понять текущие и будущие тенденции рынка и вывести ваши продукты на новый уровень успеха.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.